Cálculo Exemplos

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{\sqrt{t}} d t$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Fatore $t$ de $t - 2 t^{8}$ .

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Etapa 2.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\int \frac{t^{1} - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$\int \frac{t \cdot 1 - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $t$ de $- 2 t^{8}$ .

$\int \frac{t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $t$ de $t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})$ .

$\int \frac{t (1 - 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Etapa 2.2

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int t (1 - 2 t^{7}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 2.3

Multiplique $t$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t (1 - 2 t^{7}) d t$

Etapa 2.3.2

Multiplique $t^{- \frac{1}{2}}$ por $t$ .

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Etapa 2.3.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Etapa 2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int t^{- \frac{1}{2} + 1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Etapa 2.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Etapa 2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Etapa 2.3.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Etapa 3

Expanda $t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7})$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Etapa 3.2

Reordene $t^{\frac{1}{2}}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Etapa 3.3

Reordene $t^{\frac{1}{2}}$ e $- 2$ .

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Etapa 3.4

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7} d t$

Etapa 3.6

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}} d t$

Etapa 3.7

Combine $7$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}} d t$

Etapa 3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 7 \cdot 2}{2}} d t$

Etapa 3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.9.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 14}{2}} d t$

Etapa 3.9.2

Some $1$ e $14$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Etapa 6

Como $- 2$ é constante com relação a $t$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int t^{\frac{15}{2}} d t$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{15}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{17}) t^{\frac{17}{2}} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{2}{17}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Etapa 8.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Etapa 8.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$