Cálculo Exemplos

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} d x$

Etapa 1.2

Separe as frações.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Etapa 1.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Etapa 1.4

Reescreva $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como um produto.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Etapa 1.5.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.7

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.8

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.9

Multiplique $\sec^{2} (x)$ por $\sec (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.9.1

Mova $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Etapa 1.9.2

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Etapa 1.9.2.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Etapa 1.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Etapa 1.9.3

Some $1$ e $2$ .

$\int \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = \sec (x)$ . Depois, $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$