Cálculo Exemplos

$\int \frac{t \sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Etapa 1

Fatore $\sqrt{t}$ de $t \sqrt{t} + \sqrt{t}$ .

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Etapa 1.1

Fatore $\sqrt{t}$ de $t \sqrt{t}$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Etapa 1.2

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Etapa 1.3

Fatore $\sqrt{t}$ de $\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} (t + 1)}{t^{2}} d t$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Mova $t^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int \sqrt{t} (t + 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{- 2} d t$

Etapa 2.2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (t + 1) t^{- 2} d t$

Etapa 2.2.3

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $t^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.1

Mova $t^{- 2}$ .

$\int t^{- 2} t^{\frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Etapa 2.2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int t^{- 2 + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Etapa 2.2.3.3

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Etapa 2.2.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Etapa 2.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Etapa 2.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.3.6.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\int t^{\frac{- 4 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Etapa 2.2.3.6.2

Some $- 4$ e $1$ .

$\int t^{\frac{- 3}{2}} (t + 1) d t$

Etapa 2.2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int t^{- \frac{3}{2}} (t + 1) d t$

Etapa 3

Expanda $t^{- \frac{3}{2}} (t + 1)$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + t^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d t$

Etapa 3.2

Reordene $t^{- \frac{3}{2}}$ e $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + 1 \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t$

Etapa 3.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t^{1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int t^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Etapa 3.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int t^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int t^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Etapa 3.7

Some $- 3$ e $2$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Etapa 3.8

Multiplique $t^{- \frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Etapa 4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $t$ é $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

$2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 8.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$