Cálculo Exemplos

$\int \sin^{2} (4 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 4 x$ . Depois, $d u_{1} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $\sin^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 11

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 13

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Etapa 14

Simplifique.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Etapa 15.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (2 (4 x))) + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (8 x)) + C$

Etapa 16.1.2

Combine $\sin (8 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Etapa 16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Etapa 16.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 16.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Etapa 16.3.2

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 (x)) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Etapa 16.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Etapa 16.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Etapa 16.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Etapa 16.5

Multiplique $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2})$ .

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Etapa 16.5.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{\sin (8 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (8 x)}{8 \cdot 2} + C$

Etapa 16.5.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (8 x)}{16} + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{16} \sin (8 x) + C$