Cálculo Exemplos

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} - \frac{1}{3 z} d z$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Etapa 2

Como $3$ é constante com relação a $z$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Negative o expoente de $e^{- z}$ e o mova para fora do denominador.

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 {(e^{- z})}^{- 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- z})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{- z \cdot - 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- z \cdot - 1$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{1 z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $z$ por $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Etapa 3.2.2

Multiplique $e^{z}$ por $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Etapa 4

A integral de $e^{z}$ com relação a $z$ é $e^{z}$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $z$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{3 z} d z$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $z$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - (\frac{1}{3} \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{z} d z)$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{z}$ com relação a $z$ é $\ln (| z |)$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1.1

Avalie $e^{z}$ em $- 1$ e em $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Etapa 8.1.2

Avalie $\ln (| z |)$ em $- 1$ e em $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 20 |))$

Etapa 8.1.3

Remova os parênteses.

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 20 |))$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$

Etapa 8.2.2

Combine $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.2.3

Para escrever $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.2.4

Combine $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3 - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.2.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.3.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (\frac{1}{e} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 \frac{1}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.3.4

Combine $9$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.3.5

Multiplique $9 (- \frac{1}{e^{20}})$ .

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Etapa 8.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{\frac{9}{e} - 9 \frac{1}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.3.5.2

Combine $- 9$ e $\frac{1}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.3.6

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{| - 20 |})}{3}$

Etapa 8.3.7

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 20$ e $0$ é $20$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Etapa 8.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{9}{e} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Etapa 8.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.9.1

Para escrever $\frac{9}{e}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} \cdot \frac{e^{19}}{e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Etapa 8.3.9.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $e^{20}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.9.2.1

Multiplique $\frac{9}{e}$ por $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Etapa 8.3.9.2.2

Multiplique $e$ por $e^{19}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.9.2.2.1

Multiplique $e$ por $e^{19}$ .

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Etapa 8.3.9.2.2.1.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1} e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Etapa 8.3.9.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1 + 19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Etapa 8.3.9.2.2.2

Some $1$ e $19$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{20}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Etapa 8.3.9.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Etapa 8.3.9.4

Para escrever $- \ln (\frac{1}{20})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20}) \cdot \frac{e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Etapa 8.3.9.5

Combine $- \ln (\frac{1}{20})$ e $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} + \frac{- \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Etapa 8.3.9.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Etapa 8.3.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 8.3.11

Multiplique $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20} \cdot 3}$

Etapa 8.3.12

Mova $3$ para a esquerda de $e^{20}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 \cdot e^{20}}$

Etapa 8.3.13

Reordene os fatores em $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 e^{20}}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Forma decimal:

$2.10221574 \dots$

Etapa 10