Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x + 3)}^{4}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 {(x + 3)}^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Etapa 1.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Etapa 1.1.2.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)$

Etapa 1.1.2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.5.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 {(x + 3)}^{2}$ .

$12 {(x + 3)}^{2}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 {(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ por $12$ .

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida ${(x + 3)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Divida $0$ por $12$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = 12 {((- 6) + 3)}^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Some $- 6$ e $3$ .

$f'' (- 6) = 12 {(- 3)}^{2}$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = 12 \cdot 9$

Etapa 4.2.3

Multiplique $12$ por $9$ .

$f'' (- 6) = 108$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $108$ .

$108$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 3, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 12 {((0) + 3)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Some $0$ e $3$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 3^{2}$

Etapa 5.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 9$

Etapa 5.2.3

Multiplique $12$ por $9$ .

$f'' (0) = 108$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $108$ .

$108$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 3, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(- 3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7