Cálculo Exemplos

$\int - 15 x^{4} {(- 3 x^{5} - 1)}^{5} d x$

Etapa 1

Como $- 15$ é constante com relação a $x$ , mova $- 15$ para fora da integral.

$- 15 \int x^{4} {(- 3 x^{5} - 1)}^{5} d x$

Etapa 2

Deixe $u = - 3 x^{5} - 1$ . Depois, $d u = - 15 x^{4} d x$ , então, $- \frac{1}{15} d u = x^{4} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = - 3 x^{5} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $- 3 x^{5} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5} - 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{5} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 15 x^{4} + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $- 15 x^{4}$ e $0$ .

$- 15 x^{4}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 15 \int u^{5} \frac{1}{- 15} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 15 \int u^{5} (- \frac{1}{15}) d u$

Etapa 3.2

Combine $u^{5}$ e $\frac{1}{15}$ .

$- 15 \int - \frac{u^{5}}{15} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 15 (- \int \frac{u^{5}}{15} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $- 15$ .

$15 \int \frac{u^{5}}{15} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{15}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{15}$ para fora da integral.

$15 (\frac{1}{15} \int u^{5} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{15}$ e $15$ .

$\frac{15}{15} \int u^{5} d u$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15}{15} \int u^{5} d u$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int u^{5} d u$

Etapa 7.3

Multiplique $\int u^{5} d u$ por $1$ .

$\int u^{5} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{5}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 x^{5} - 1$ .

$\frac{1}{6} {(- 3 x^{5} - 1)}^{6} + C$