Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3} \frac{6 x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Etapa 1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Etapa 2

Reescreva $x^{3}$ como ${(x^{3})}^{1}$ .

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 {(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Depois, $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{lower} = 1^{3}$

Etapa 3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 1$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{upper} = 3^{3}$

Etapa 3.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$u_{upper} = 27$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{8 u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{(8 u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Etapa 4.3

Mova $3$ para a esquerda de $8 u_{1} + 1$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{3 (8 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 6.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Depois, $d u_{2} = 8 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{8} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Diferencie $8 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1} + 1]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 u_{1} + 1$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 7.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $8 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 7.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 7.1.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 7.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 7.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$8 + 0$

Etapa 7.1.4.2

Some $8$ e $0$ .

$8$

Etapa 7.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 1 + 1$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$u_{lower} = 8 + 1$

Etapa 7.3.2

Some $8$ e $1$ .

$u_{lower} = 9$

Etapa 7.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 27 + 1$

Etapa 7.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Multiplique $8$ por $27$ .

$u_{upper} = 216 + 1$

Etapa 7.5.2

Some $216$ e $1$ .

$u_{upper} = 217$

Etapa 7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 217$

Etapa 7.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{8}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Etapa 8.2

Mova $8$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 9

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $2$ .

$\frac{2}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)]_{9}^{217}$

Etapa 12

Avalie $\ln (| u_{2} |)$ em $217$ e em $9$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 217 |) - \ln (| 9 |))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$

Etapa 13.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})}{4}$

Etapa 14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $217$ é $217$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{| 9 |})}{4}$

Etapa 14.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $9$ é $9$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Forma decimal:

$0.79566819 \dots$

Etapa 16