Cálculo Exemplos

$\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 3} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 3}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}}) - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

Etapa 3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

Etapa 3.5

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + 1 \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Etapa 5.2

Multiplique $\int \frac{1}{2 x^{3}} d x$ por $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 7.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{- 3} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Reescreva $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$ como $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2} \cdot 2}) + C$

Etapa 9.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot x^{2}}) + C$

Etapa 9.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 (2 x^{2})} + C$

Etapa 9.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{4 x^{2}} + C$