Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

Etapa 1

Divida a fração em diversas frações.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.1.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $e$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Etapa 7.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $e$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3

Simplifique.

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Etapa 7.1.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.4

Para escrever $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 7.1.3.5

Combine $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 7.1.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 7.1.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{2}$

Etapa 7.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{2}$

Etapa 7.3.3

Divida $e$ por $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (e) - 1}{2}$

Etapa 7.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \cdot 1 - 1}{2}$

Etapa 7.3.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 - 1}{2}$

Etapa 7.3.6

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Forma decimal:

$2.19452804 \dots$

Etapa 9