Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{3} - 3 x}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Fatore $x$ de $4 x^{3} - 3 x$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $4 x^{3}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) - 3 x}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.2

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) + x \cdot - 3}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.3

Fatore $x$ de $x (4 x^{2}) + x \cdot - 3$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x^{2}} d x$

Etapa 1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{2} - 3}{x} d x$

Etapa 2

Divida $4 x^{2} - 3$ por $x$ .

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Etapa 2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$3$

Etapa 2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

Etapa 2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$4 x^{2}$	+	$0$

Etapa 2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{2} + 0$ .

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$

Etapa 2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$

Etapa 2.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$3$

Etapa 2.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{3}{x} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x$

Etapa 8

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $e$ e em $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Etapa 11.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $e$ e em $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 11.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 11.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 11.3.2.3

Reescreva a expressão.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 11.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 11.3.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 11.3.3.3

Cancele o fator comum.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 11.3.3.4

Reescreva a expressão.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 11.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 11.3.5

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Etapa 11.3.6

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{1})$

Etapa 11.3.7

Divida $e$ por $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (e)$

Etapa 11.3.8

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \cdot 1$

Etapa 11.3.9

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3$

Etapa 11.3.10

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$2 e^{2} - 5$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 e^{2} - 5$

Forma decimal:

$9.77811219 \dots$

Etapa 13