Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

Etapa 1

Como $24$ é constante com relação a $t$ , mova $24$ para fora da integral.

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

Etapa 2

Divida $t$ por $2 t + 3$ .

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Etapa 2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 t$

$3$

$t$

$0$

Etapa 2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $t$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 t$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

Etapa 2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

Etapa 2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $t + \frac{3}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

Etapa 2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

Etapa 2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $t$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Etapa 7

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

Etapa 8

Deixe $u = 2 t + 3$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = 2 t + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $2 t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t + 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

Etapa 8.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Etapa 8.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Etapa 8.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

Etapa 8.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

Etapa 8.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 8.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 8.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 2 t + 3$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 3$

Etapa 8.3.2

Some $0$ e $3$ .

$u_{lower} = 3$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 2 t + 3$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Multiplique $2$ por $10$ .

$u_{upper} = 20 + 3$

Etapa 8.5.2

Some $20$ e $3$ .

$u_{upper} = 23$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Etapa 9.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ e $\frac{3}{4}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

Etapa 13.2

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

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Etapa 14.1

Avalie $\frac{t}{2}$ em $10$ e em $0$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Etapa 14.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $23$ e em $3$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3

Simplifique.

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Etapa 14.3.1

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1.1

Fatore $2$ de $10$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.1.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.2

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Fatore $2$ de $0$ .

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.4

Some $5$ e $0$ .

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.5

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.6

Combine $5$ e $\frac{4}{4}$ .

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Etapa 14.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Etapa 14.3.8

Multiplique $5$ por $4$ .

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Etapa 14.3.9

Combine $24$ e $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ .

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

Etapa 14.3.10

Cancele o fator comum de $24$ e $4$ .

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Etapa 14.3.10.1

Fatore $4$ de $24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

Etapa 14.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.10.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

Etapa 14.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

Etapa 14.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

Etapa 14.3.10.2.4

Divida $6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ por $1$ .

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

Etapa 15

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $23$ é $23$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

Etapa 16.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Etapa 16.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Etapa 16.4

Multiplique $6$ por $20$ .

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Etapa 16.5

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Forma decimal:

$83.33612530 \dots$

Etapa 18