Cálculo Exemplos

$y = - \frac{y}{x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{y}{x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{y}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = x$ .

$- \frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot 0$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + 0$

Etapa 3.7.2

Some $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $x^{2}$ .

$y' x^{2} = - \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $- \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ para o numerador.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$y' x^{2} = - (x y' - y)$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' x^{2} = - (x y') - - y$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- - y$ .

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Etapa 5.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' x^{2} = - x y' + 1 y$

Etapa 5.2.1.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y' x^{2} = - x y' + y$

Etapa 5.2.1.4

Mova $x$ .

$y' x^{2} = - 1 y' x + y$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva $- 1 y'$ como $- y'$ .

$y' x^{2} = - y' x + y$

Etapa 5.3.2

Some $y' x$ aos dois lados da equação.

$y' x^{2} + y' x = y$

Etapa 5.3.3

Fatore $y' x$ de $y' x^{2} + y' x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $y' x$ de $y' x^{2}$ .

$y' x \cdot x + y' x = y$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $y' x$ de $y' x$ .

$y' x \cdot x + y' x \cdot 1 = y$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $y' x$ de $y' x \cdot x + y' x \cdot 1$ .

$y' x (x + 1) = y$

Etapa 5.3.4

Divida cada termo em $y' x (x + 1) = y$ por $x (x + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.4.1

Divida cada termo em $y' x (x + 1) = y$ por $x (x + 1)$ .

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Etapa 5.3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Etapa 5.3.4.2.2

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 5.3.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Etapa 5.3.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{x (x + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (x + 1)}$