Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) + \sin (2 x) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Etapa 3

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Etapa 4

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 4.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 4.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u$

Etapa 7

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie $- \cos (x)$ em $π$ e em $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Etapa 8.2

Avalie $- \cos (u)$ em $2 π$ e em $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((- \cos (2 π)) + \cos (0))$

Etapa 8.3

Remova os parênteses.

$2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Etapa 9.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Etapa 10.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Etapa 10.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Etapa 10.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Etapa 10.5

Some $1$ e $1$ .

$2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Etapa 10.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Etapa 10.7

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (0) + 1)$

Etapa 10.8

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Etapa 10.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 + 1)$

Etapa 10.10

Some $- 1$ e $1$ .

$4 + \frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 10.11

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$4 + 0$

Etapa 10.12

Some $4$ e $0$ .

$4$