Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{8} x e^{- \frac{x}{c}} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- \frac{x}{c}}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - c e^{- \frac{x}{c}} d x$

Etapa 2

Como $- c$ é constante com relação a $x$ , mova $- c$ para fora da integral.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (- c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + 1 (c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Etapa 3.2

Multiplique $c$ por $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = - \frac{x}{c}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{c} d x$ , então, $- c d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = - \frac{x}{c}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $- \frac{x}{c}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{c}]$

Etapa 4.1.2

Como $- \frac{1}{c}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{c}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{c} \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{c}$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{c}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $c$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Etapa 4.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Etapa 4.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{c}} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{c}} d u$

Etapa 5.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{c}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} (1 c) d u$

Etapa 5.3

Multiplique $c$ por $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} c d u$

Etapa 6

Como $- c$ é constante com relação a $u$ , mova $- c$ para fora da integral.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c (- c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Eleve $c$ à potência de $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Etapa 7.2

Eleve $c$ à potência de $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c^{1}) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Etapa 7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{1 + 1} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Etapa 7.4

Some $1$ e $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $x (- c e^{- \frac{x}{c}})$ em $8$ e em $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Etapa 9.2

Avalie $e^{u}$ em $- \frac{8}{c}$ e em $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 (c e^{- \frac{8}{c}}) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Etapa 9.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 (c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Etapa 9.3.3

Multiplique $c$ por $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 e^{- \frac{0}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Etapa 9.3.4

Multiplique $0$ por $e^{- \frac{0}{c}}$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Etapa 9.3.5

Some $- 8 c e^{- \frac{8}{c}}$ e $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Etapa 9.3.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1 \cdot 1)$

Etapa 9.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1)$

Etapa 10

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} \cdot - 1$

Etapa 10.2

Multiplique $- c^{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 10.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + 1 c^{2}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $c^{2}$ por $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + c^{2}$

Etapa 11