Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \sin (4 x)$ . Depois, $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \sin (4 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{upper} = \sin (4 π)$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Etapa 1.5.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

Etapa 2

Combine ${u_{2}}^{6}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{6}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ em $0$ e em $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 5.2.2

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 5.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

Etapa 5.2.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

Etapa 5.2.5

Multiplique $0$ por $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

Etapa 5.2.6

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Etapa 5.2.7

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0$