Cálculo Exemplos

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{25 - 16 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - 16 x^{2}}} d x$

Etapa 1.2

Reescreva $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - {(4 x)}^{2}}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 4 x$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0.25$

Etapa 2.3

Multiplique $4$ por $0.25$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 0.5$

Etapa 2.5

Multiplique $4$ por $0.5$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (\frac{u}{5})$

$\frac{1}{4} \arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{4}$ e $\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}}{4}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\arcsin (\frac{u}{5})$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{(\arcsin (\frac{2}{5})) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $2$ e $5$ .

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Etapa 6.2.1

Reescreva $2$ como $1 (2)$ .

$\frac{\arcsin (\frac{1 (2)}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.1

Reescreva $5$ como $1 (5)$ .

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\arcsin (\frac{2}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Avalie $\arcsin (\frac{2}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Etapa 7.1.2

Avalie $\arcsin (\frac{1}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - 1 \cdot 0.20135792}{4}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $- 1$ por $0.20135792$ .

$\frac{0.41151684 - 0.20135792}{4}$

Etapa 7.1.4

Subtraia $0.20135792$ de $0.41151684$ .

$\frac{0.21015892}{4}$

Etapa 7.2

Divida $0.21015892$ por $4$ .

$0.05253973$

Etapa 8