Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

Etapa 1

Verifique se $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ é contínua.

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Etapa 1.1

Para saber se a função é contínua em $[0, 4]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

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Etapa 1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

Etapa 1.1.2

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{3} \geq 0$

Etapa 1.1.3

Resolva $x$ .

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Etapa 1.1.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique a equação.

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Etapa 1.1.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 1.1.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 1.1.3.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq 0$

Etapa 1.1.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 1.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 4]$ .

A função é contínua.

Etapa 2

Verifique se $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ é diferenciável.

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Etapa 2.1

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.8

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.9

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.10

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.11

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2.12

Divida $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Etapa 2.1.1.3.2

Some $x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.2

Determine se a derivada é contínua em $[0, 4]$ .

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Etapa 2.2.1

Para saber se a função é contínua em $[0, 4]$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\sqrt{x^{1}}$

Etapa 2.2.1.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\sqrt{x}$

Etapa 2.2.1.2

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 2.2.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 2.2.2

$f' (x)$ é contínuo em $[0, 4]$ .

A função é contínua.

Etapa 2.3

A função é diferenciável em $[0, 4]$ , porque a derivada é contínua em $[0, 4]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 3

Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado $[0, 4]$ .

A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado $[0, 4]$ .

Etapa 4

Encontre a derivada de $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.8

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.9

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.10

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.11

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.2.12

Divida $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Etapa 4.3.2

Some $x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5

Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Etapa 6

Avalie a integral.

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Etapa 6.1

Deixe $u = 1 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1.1

Deixe $u = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 6.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 6.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 6.1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 6.1.3

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 6.1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $4$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 6.1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Etapa 6.1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Etapa 6.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Etapa 6.4

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.4.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $5$ e em $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.4.2

Simplifique.

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Etapa 6.4.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.4.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 6.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Forma decimal:

$6.78689325 \dots$

Etapa 8