Cálculo Exemplos

$g (x) = 2 + x (x^{2} - 3)$ , $[3, 6]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $g (x) = 2 + x (x^{2} - 3)$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$g (x)$ é contínuo em $[3, 6]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x (x^{2} - 3)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)]$

Etapa 3.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)]$ .

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Etapa 3.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 3$ .

$0 + x \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$0 + x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + x (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + x (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + x (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Etapa 3.1.2.6

Some $2 x$ e $0$ .

$0 + x (2 x) + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Etapa 3.1.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$0 + 2 (x^{1} x) + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Etapa 3.1.2.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$0 + 2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Etapa 3.1.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 + 2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Etapa 3.1.2.10

Some $1$ e $1$ .

$0 + 2 x^{2} + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Etapa 3.1.2.11

Multiplique $x^{2} - 3$ por $1$ .

$0 + 2 x^{2} + x^{2} - 3$

Etapa 3.1.2.12

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$0 + 3 x^{2} - 3$

Etapa 3.1.3

Some $0$ e $3 x^{2} - 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(3, 6)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$g' (x)$ é contínuo em $(3, 6)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(3, 6)$ , porque a derivada é contínua em $(3, 6)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$g (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[3, 6]$ e diferenciável em $(3, 6)$ .

$g (x)$ é contínuo em $[3, 6]$ e diferenciável em $(3, 6)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[3, 6]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$g (3) = 2 + (3) ({(3)}^{2} - 3)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$g (3) = 2 + 3 (9 - 3)$

Etapa 7.2.1.2

Subtraia $3$ de $9$ .

$g (3) = 2 + 3 \cdot 6$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $3$ por $6$ .

$g (3) = 2 + 18$

Etapa 7.2.2

Some $2$ e $18$ .

$g (3) = 20$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $20$ .

$20$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[3, 6]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$g (6) = 2 + (6) ({(6)}^{2} - 3)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$g (6) = 2 + 6 (36 - 3)$

Etapa 8.2.1.2

Subtraia $3$ de $36$ .

$g (6) = 2 + 6 \cdot 33$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $6$ por $33$ .

$g (6) = 2 + 198$

Etapa 8.2.2

Some $2$ e $198$ .

$g (6) = 200$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $200$ .

$200$

Etapa 9

Resolva $3 x^{2} - 3 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $3 x^{2} - 3 = \frac{- (f (6) + f (3))}{- (6 + 3)}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $\frac{(200) - (20)}{(6) - (3)}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$3 x^{2} - 3 = \frac{200 - 20}{6 - (3)}$

Etapa 9.1.1.2

Subtraia $20$ de $200$ .

$3 x^{2} - 3 = \frac{180}{6 - (3)}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 x^{2} - 3 = \frac{180}{6 - 3}$

Etapa 9.1.2.2

Subtraia $3$ de $6$ .

$3 x^{2} - 3 = \frac{180}{3}$

Etapa 9.1.3

Divida $180$ por $3$ .

$3 x^{2} - 3 = 60$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 60 + 3$

Etapa 9.2.2

Some $60$ e $3$ .

$3 x^{2} = 63$

Etapa 9.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 63$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 9.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 63$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{63}{3}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{63}{3}$

Etapa 9.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{63}{3}$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.3.1

Divida $63$ por $3$ .

$x^{2} = 21$

Etapa 9.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{21}$

Etapa 9.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{21}$

Etapa 9.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{21}$

Etapa 9.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{21}, - \sqrt{21}$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = \sqrt{21}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 3$ e $b = 6$

Etapa 11

Existe uma reta tangente em $x = - \sqrt{21}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 3$ e $b = 6$

Etapa 12