Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ , $[- 1, 1]$

Etapa 1

Escreva $y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Etapa 2

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[- 1, 1]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 x$

Etapa 2.2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f (x)$ é contínuo em $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 \int_{- 1}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{3}{5}$ e $x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Etapa 10

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 \int_{- 1}^{1} x d x)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}))$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Etapa 12.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ em $1$ e em $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Etapa 12.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $1$ e em $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3

Simplifique.

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Etapa 12.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.3

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 12.2.3.5.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.5.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.6

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5})) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.10

Multiplique $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 + 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.12

Some $3$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{6}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.13

Combine $3$ e $\frac{6}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.14

Multiplique $3$ por $6$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.15

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.3.16

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}))$

Etapa 12.2.3.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{1 - 1}{2})$

Etapa 12.2.3.18

Subtraia $1$ de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{2}))$

Etapa 12.2.3.19

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 12.2.3.19.1

Fatore $2$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 12.2.3.19.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.2.3.19.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 12.2.3.19.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 12.2.3.19.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{1}))$

Etapa 12.2.3.19.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \cdot 0)$

Etapa 12.2.3.20

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} + 0)$

Etapa 12.2.3.21

Some $\frac{18}{5}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5})$

Etapa 13

Some $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{5}$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.1

Fatore $2$ de $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (9)}{5}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 9}{5}$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{9}{5}$

Etapa 15