Cálculo Exemplos

$y = 100 - x^{2}$ , $[- 10, 10]$

Etapa 1

Escreva $y = 100 - x^{2}$ como uma função.

$f (x) = 100 - x^{2}$

Etapa 2

Encontre a derivada de $f (x) = 100 - x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $100 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 2.1.3

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x$ .

$- 2 x$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

$f' (x)$ é contínuo em $[- 10, 10]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 5

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 6

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (\int_{- 10}^{10} - 2 x d x)$

Etapa 7

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 \int_{- 10}^{10} x d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 10}^{10}))$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 10}^{10}))$

Etapa 9.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $10$ e em $- 10$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 ((\frac{10^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Etapa 9.2.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{100}{2} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum de $100$ e $2$ .

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Etapa 9.2.2.2.1

Fatore $2$ de $100$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Etapa 9.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Etapa 9.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Etapa 9.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{50}{1} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Etapa 9.2.2.2.2.4

Divida $50$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{100}{2}))$

Etapa 9.2.2.4

Cancele o fator comum de $100$ e $2$ .

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Etapa 9.2.2.4.1

Fatore $2$ de $100$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{2 \cdot 50}{2}))$

Etapa 9.2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{2 \cdot 50}{2 (1)}))$

Etapa 9.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1}))$

Etapa 9.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{50}{1}))$

Etapa 9.2.2.4.2.4

Divida $50$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - 1 \cdot 50))$

Etapa 9.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $50$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - 50))$

Etapa 9.2.2.6

Subtraia $50$ de $50$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 \cdot 0)$

Etapa 9.2.2.7

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (0)$

Etapa 10

Some $10$ e $10$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot 0$

Etapa 11

Multiplique $\frac{1}{20}$ por $0$ .

$A (x) = 0$

Etapa 12