Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 3 x + 1$ , $[0, 2]$

Etapa 1

Escreva $y = x^{2} - 3 x + 1$ como uma função.

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$

Etapa 2

Encontre a derivada de $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ .

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Etapa 2.1.3.2

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - 3$ .

$2 x - 3$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

$f' (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 5

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 6

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x - 3 d x)$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Etapa 12

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Etapa 12.2

Avalie $- 3 x$ em $2$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3

Simplifique.

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Etapa 12.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 12.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 12.3.4.1

Fatore $2$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.6

Some $2$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.8

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 3 \cdot 0)$

Etapa 12.3.9

Multiplique $3$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 0)$

Etapa 12.3.10

Some $- 6$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6)$

Etapa 12.3.11

Subtraia $6$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 2)$

Etapa 13

Simplifique o denominador.

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Etapa 13.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot - 2$

Etapa 13.2

Some $2$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot - 2$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = - 1$

Etapa 15