Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{2 x}$ , $(2, 8)$

Etapa 1

Escreva $y = \sqrt{2 x}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{2 x}$

Etapa 2

Encontre a derivada de $f (x) = \sqrt{2 x}$ .

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.2

Como $2^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 2.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 2.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 2.1.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.1.10

Combine $2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.11.1

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.11.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.12

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.12.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1.12.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.12.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.12.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f' (x)$ é contínuo em $[2, 8]$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} \sqrt{x^{1}}}$

Etapa 3.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x^{1}}}$

Etapa 3.1.4

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$

Etapa 3.2

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 3.3

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{2} \sqrt{x} = 0$

Etapa 3.4

Resolva $x$ .

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Etapa 3.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(\sqrt{2} \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Simplifique ${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}$ .

${\sqrt{2}}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.2.5

Avalie o expoente.

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$2 x^{1} = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.4

Simplifique.

$2 x = 0^{2}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 x = 0$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 4

$f' (x)$ é contínuo em $[2, 8]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 5

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 6

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\int_{2}^{8} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Etapa 8.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Etapa 8.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{8})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $2 x^{\frac{1}{2}}$ em $8$ e em $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 10.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2.2.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2.6

Some $2$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2.7

Fatore o negativo.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Etapa 10.2.8

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Etapa 10.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{1 + \frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2.10

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2 + 1}{2}}))$

Etapa 10.2.12

Some $2$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.2.1

Fatore $2^{\frac{1}{2}}$ de $2^{\frac{5}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 11.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 11.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum de $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.3.1

Fatore $2^{\frac{1}{2}}$ de $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Etapa 11.3.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Etapa 11.3.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} - 2^{\frac{2}{2}})$

Etapa 11.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.4.1

Divida $4$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{2} - 2^{\frac{2}{2}})$

Etapa 11.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2^{\frac{2}{2}})$

Etapa 11.4.3

Divida $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Etapa 11.4.4

Avalie o expoente.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 1 \cdot 2)$

Etapa 11.4.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Etapa 11.5

Subtraia $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2)$

Etapa 12

Subtraia $2$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 2$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.1

Fatore $2$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 2$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{3}$

Etapa 14