Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ , $- 1 < x < - 0$

Etapa 1

Encontre a derivada de $f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ .

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x}{3} + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + 3$

Etapa 1.1.4

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 1.1.4.2

Combine $3$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Etapa 1.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + 3 \cdot 3}{3}$

Etapa 1.1.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.4.4.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2 + 9}{3}$

Etapa 1.1.4.4.2

Some $2$ e $9$ .

$f' (x) = \frac{11}{3}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{11}{3}$ .

$\frac{11}{3}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f' (x)$ é contínuo em $[- 1, 0]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\int_{- 1}^{0} \frac{11}{3} d x)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3} x]_{- 1}^{0})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{11}{3} x$ em $0$ e em $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} ((\frac{11}{3} \cdot 0) - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{11}{3}$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Etapa 7.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + 1 (\frac{11}{3}))$

Etapa 7.2.3

Multiplique $\frac{11}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + \frac{11}{3})$

Etapa 7.2.4

Some $0$ e $\frac{11}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3})$

Etapa 8

Some $0$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Etapa 9.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = 1 \cdot \frac{11}{3}$

Etapa 10

Multiplique $\frac{11}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{11}{3}$

Etapa 11