Cálculo Exemplos

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{3}{x - 2}$ como uma função.

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Etapa 2

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[4, 7]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{3}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Etapa 3

$f (x)$ é contínuo em $[4, 7]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

Etapa 6

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

Etapa 7

Deixe $u = x - 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 7.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Etapa 7.3

Subtraia $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 7 - 2$

Etapa 7.5

Subtraia $2$ de $7$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Etapa 7.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

Etapa 9

Avalie $\ln (| u |)$ em $5$ e em $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

Etapa 10

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

Etapa 11.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Etapa 12

Subtraia $4$ de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.1

Fatore $3$ de $3 \ln (\frac{5}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

Etapa 14