Cálculo Exemplos

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x - 2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Etapa 1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.1.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

Etapa 1.1.3.5.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Determine se a derivada é contínua em $[4, 7]$ .

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Etapa 2.1

Para saber se a função é contínua em $[4, 7]$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Defina o denominador em $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 2.1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Etapa 2.2

$f' (x)$ é contínuo em $[4, 7]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

A função é diferenciável em $[4, 7]$ , porque a derivada é contínua em $[4, 7]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 4