Cálculo Exemplos

$\frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

Etapa 2.1.2

A resposta final é $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ .

$\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

$f (x) = \frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

$f (x) = \frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})}{h}$

Etapa 4

Combine os termos.

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Etapa 4.1

Para escrever $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})}{h}$

Etapa 4.2

Para escrever $- (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Etapa 4.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $e^{x + h} e^{x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ por $\frac{e^{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{x + h} e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $e^{x + h}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{x + h + x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Etapa 4.3.2.2

Some $x$ e $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $\frac{\sinh (x)}{e^{x}}$ por $\frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{x} e^{h + x}}}{h}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $e^{x}$ por $e^{h + x}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{x + h + x}}}{h}$

Etapa 4.3.4.2

Some $x$ e $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}}{h}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}}{h}$

Etapa 5

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}$ por $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 6.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 6.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 6.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sinh (x + h) e^{x} - lim_{h \to 0} \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2.2

Mova o termo $e^{x}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - lim_{h \to 0} \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2.3

Mova o termo $\sinh (x)$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) lim_{h \to 0} e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2.4

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2.6

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 6.1.2.7.1

Avalie o limite de $\sinh (x + h)$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x + 0) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2.7.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2.7.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2.8

Combine os termos opostos em $e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}$ .

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Etapa 6.1.2.8.1

Some $0$ e $x$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2.8.2

Reorganize os fatores nos termos $e^{x} \sinh (x)$ e $- \sinh (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - e^{x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.2.8.3

Subtraia $e^{x} \sinh (x)$ de $e^{x} \sinh (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Etapa 6.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 6.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 6.1.3.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 6.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 6.1.3.4

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 6.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 6.1.3.5.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{e^{0 + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 6.1.3.5.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{e^{0 + 2 x} \cdot 0}$

Etapa 6.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1.3.6.1

Some $0$ e $2 x$ .

$\frac{0}{e^{2 x} \cdot 0}$

Etapa 6.1.3.6.2

Multiplique $e^{2 x}$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 6.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 6.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 6.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 6.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 6.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}]$ .

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Etapa 6.3.3.1

Como $e^{x}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $\sinh (x + h) e^{x}$ em relação a $h$ é $e^{x} \frac{d}{d h} [\sinh (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \frac{d}{d h} [\sinh (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = \sinh (h)$ e $g (h) = x + h$ .

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Etapa 6.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.3.2.2

A derivada de $\sinh (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cosh (u_{1})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.3.4

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.3.6

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.3.7

Multiplique $\cosh (x + h)$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.4

Avalie $\frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]$ .

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Etapa 6.3.4.1

Como $- \sinh (x)$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- \sinh (x) e^{h + x}$ em relação a $h$ é $- \sinh (x) \frac{d}{d h} [e^{h + x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) \frac{d}{d h} [e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = e^{h}$ e $g (h) = h + x$ .

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Etapa 6.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $h + x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $h + x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $h + x$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (1 + \frac{d}{d h} [x]))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.4.5

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (1 + 0))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.4.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} \cdot 1)}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.4.7

Multiplique $e^{h + x}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{h + x}}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.5

Reordene os termos.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Etapa 6.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ é $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , em que $f (h) = e^{h + 2 x}$ e $g (h) = h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

Etapa 6.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

Etapa 6.3.8

Multiplique $e^{h + 2 x}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

Etapa 6.3.9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = e^{h}$ e $g (h) = h + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $h + 2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

Etapa 6.3.9.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{u} \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

Etapa 6.3.9.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $h + 2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

Etapa 6.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $h + 2 x$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [2 x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [2 x]))}$

Etapa 6.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (1 + \frac{d}{d h} [2 x]))}$

Etapa 6.3.12

Como $2 x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2 x$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (1 + 0))}$

Etapa 6.3.13

Some $1$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} \cdot 1)}$

Etapa 6.3.14

Multiplique $e^{h + 2 x}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h e^{h + 2 x}}$

Etapa 6.3.15

Simplifique.

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Etapa 6.3.15.1

Reordene os termos.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} h + e^{h + 2 x}}$

Etapa 6.3.15.2

Reordene os fatores em $e^{h + 2 x} h + e^{h + 2 x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x} \cosh (x + h) - lim_{h \to 0} e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.3

Mova o termo $e^{x}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - lim_{h \to 0} e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.4

Mova o termo $\sinh (x)$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) lim_{h \to 0} e^{h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.5

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.7

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.10

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.12

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Etapa 7.13

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Etapa 7.14

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x}}$

Etapa 7.15

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $\cosh (x + h)$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x + 0) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Etapa 8.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Etapa 8.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Etapa 8.4

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Etapa 8.5

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Etapa 8.6

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Some $0$ e $x$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Etapa 9.1.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{x}$ .

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Etapa 9.1.2.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} \cosh (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x)) - \sinh (x) e^{x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Etapa 9.1.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- \sinh (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x)) + e^{x} (- \sinh (x))}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Etapa 9.1.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (\cosh (x)) + e^{x} (- \sinh (x))$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1

Some $0$ e $2 x$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 \cdot e^{2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Etapa 9.2.2

Multiplique $0$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 + e^{0 + 2 x}}$

Etapa 9.2.3

Some $0$ e $2 x$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 + e^{2 x}}$

Etapa 9.2.4

Some $0$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{e^{2 x}}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 9.3.1

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x}}$

Etapa 9.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{1}$

Etapa 9.3.2.4

Divida $e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))$ por $1$ .

$e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))$

Etapa 9.4

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} \cosh (x) + e^{- x} (- \sinh (x))$

Etapa 9.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \cosh (x) - e^{- x} \sinh (x)$

Etapa 10