Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 8 x + 10$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 6 x^{2} + 8 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8 + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $4 x^{3} - 12 x + 8$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x + 8$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 12 x + 8$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 12 x + 8 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 12 x + 8$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x + 8 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $4$ de $- 12 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x) + 8 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $4$ de $8$ .

$4 x^{3} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 2 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 (- 3 x)$ .

$4 (x^{3} - 3 x) + 4 \cdot 2 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 3 x) + 4 \cdot 2$ .

$4 (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $x^{3} - 3 x + 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 2.2.2.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.2.2.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

Etapa 2.2.2.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Etapa 2.2.2.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$1 - 3 + 2$

Etapa 2.2.2.3.4

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 + 2$

Etapa 2.2.2.3.5

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 2.2.2.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.5

Divida $x^{3} - 3 x + 2$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Etapa 2.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Etapa 2.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 2.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 2.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Etapa 2.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x + 2$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 2.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Etapa 2.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + x - 2$

Etapa 2.2.2.6

Escreva $x^{3} - 3 x + 2$ como um conjunto de fatores.

$4 ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.3.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 2.2.3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore.

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Etapa 2.2.4.1

Combine como fatores.

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Etapa 2.2.4.1.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$4 ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.4.1.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$4 ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.4.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.4.1.4

Some $1$ e $1$ .

$4 ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva ${(x - 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{4} - 6 x^{2} + 8 x + 10$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2} + 8 (1) + 10$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 6 {(1)}^{2} + 8 (1) + 10$

Etapa 4.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 6 \cdot 1 + 8 (1) + 10$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$1 - 6 + 8 (1) + 10$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$1 - 6 + 8 + 10$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $6$ de $1$ .

$- 5 + 8 + 10$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $- 5$ e $8$ .

$3 + 10$

Etapa 4.1.2.2.3

Some $3$ e $10$ .

$13$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2) + 10$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$16 - 6 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2) + 10$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$16 - 6 \cdot 4 + 8 (- 2) + 10$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$16 - 24 + 8 (- 2) + 10$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$16 - 24 - 16 + 10$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $24$ de $16$ .

$- 8 - 16 + 10$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $16$ de $- 8$ .

$- 24 + 10$

Etapa 4.2.2.2.3

Some $- 24$ e $10$ .

$- 14$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, 13), (- 2, - 14)$

Etapa 5