Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) + 3}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ .

$\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} - (\frac{2 x}{x + 3})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{2 x}{x + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h + 3) (x + 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{2 x}{x + 3}$ por $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Fatore $2$ de $2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1.1

Fatore $2$ de $2 (x + h) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x (x + h + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.3

Fatore $2$ de $2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Expanda $(x + h) (x + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x (x + 3) + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x \cdot x - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.5.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.5.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h + 0 - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Some $3 x$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Some $h x + 3 h - x h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Subtraia $x h$ de $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.10.1

Reordene $h$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + x h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10.2

Subtraia $x h$ de $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11

Some $3 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot (3 h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Fatore $h$ de $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova o termo $\frac{6}{x + 3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{6}{x + 3} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 3}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Etapa 5.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Etapa 5.5

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Etapa 5.6

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 3}$

Etapa 6

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 0 + 3}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{6}{x + 3}$ por $\frac{1}{x + 3}$ .

$\frac{6}{(x + 3) (x + 3)}$

Etapa 7.2.2

Eleve $x + 3$ à potência de $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

Etapa 7.2.3

Eleve $x + 3$ à potência de $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

Etapa 7.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

Etapa 7.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 8