Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{4 - x^{2}}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{1}{4 - {(x + h)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2^{2} - {(x + h)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - (x + h))}$

Etapa 2.1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ .

$\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

$f (x) = \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

$f (x) = \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} - (\frac{1}{(2 + x) (2 - x)})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 + x + h) (2 - x - h) (2 + x) (2 - x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ por $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ por $\frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))}}{h}$

Etapa 4.1.3.4

Reordene os fatores de $(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.5.1

Expanda $(2 + x) (2 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (2 - x) + x (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.2.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - x \cdot x - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.2.1.5.1

Mova $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 + 0 - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.3

Some $4$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} + (- 1 \cdot 2 - x - h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} + (- 2 - x - h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Expanda $(- 2 - x - h) (2 - x - h)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (- x) - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.6.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 - 2 (- x) - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.6.6.1

Mova $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + 1 x^{2} - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.8

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} - 1 \cdot (- 1 x h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + 1 x h - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.11

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.12

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.13

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h - 1 \cdot (- 1 h x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + 1 h x - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.15

Multiplique $h$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.16

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.17

Multiplique $h$ por $h$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.6.17.1

Mova $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.17.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.18

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + 1 h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.19

Multiplique $h^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Combine os termos opostos em $- 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}$ .

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Etapa 4.1.5.7.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 h + 0 + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7.2

Some $- 4 + 2 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 h + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7.3

Subtraia $2 h$ de $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + 0 + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7.4

Some $- 4 + x^{2} + x h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Some $x h$ e $h x$ .

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Etapa 4.1.5.8.1

Reordene $h$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.2

Some $x h$ e $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Subtraia $4$ de $4$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} + 0 + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12

Some $0$ e $2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.13

Fatore $h$ de $2 x h + h^{2}$ .

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Etapa 4.1.5.13.1

Fatore $h$ de $2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.13.2

Fatore $h$ de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.13.3

Fatore $h$ de $h (2 x) + h (h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}$

Etapa 5

Mova o termo $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

Etapa 8

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} 2 + x + h \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Etapa 11

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Etapa 12

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Etapa 13

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (lim_{h \to 0} 2 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h)}$

Etapa 14

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h)}$

Etapa 15

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

Etapa 16

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

Etapa 16.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

Etapa 16.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x + 0)}$

Etapa 17

Simplifique a resposta.

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Etapa 17.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x + 0)}$

Etapa 17.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 17.2.1

Some $2 + x$ e $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x + 0)}$

Etapa 17.2.2

Some $2 - x$ e $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$

Etapa 17.3

Multiplique $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1

Multiplique $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ por $\frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{2 x}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x))}$

Etapa 17.3.2

Eleve $2 + x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1} (2 + x) (2 - x) (2 - x)}$

Etapa 17.3.3

Eleve $2 + x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1} {(2 + x)}^{1} (2 - x) (2 - x)}$

Etapa 17.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1 + 1} (2 - x) (2 - x)}$

Etapa 17.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} (2 - x) (2 - x)}$

Etapa 17.3.6

Eleve $2 - x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} ({(2 - x)}^{1} (2 - x))}$

Etapa 17.3.7

Eleve $2 - x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} ({(2 - x)}^{1} {(2 - x)}^{1})}$

Etapa 17.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{1 + 1}}$

Etapa 17.3.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Etapa 18