Cálculo Exemplos

$\frac{6 t}{6 + \sqrt{t}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{6 t}{6 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{6 t}{6 + t^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [\frac{t}{6 + t^{\frac{1}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{t}{6 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = 6 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{(6 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [6 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \frac{(6 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [6 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $6 + t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [6 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + t^{\frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6$ em relação a $t$ é $0$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 10

Combine $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $t$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11

Multiplique $t^{- \frac{1}{2}}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Multiplique $t^{- \frac{1}{2}}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.4

Some $- 1$ e $2$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 12

Para escrever $t^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 \frac{6 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 13

Combine $t^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 \frac{6 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 \frac{6 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 15

Mova $2$ para a esquerda de $t^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{6 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 16

Subtraia $t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{6 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 17

Multiplique $\frac{6 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{2}{2} \cdot \frac{6 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 18

Combine.

$6 \frac{2 (6 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 19

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \frac{2 \cdot 6 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 20

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Cancele o fator comum.

$6 \frac{2 \cdot 6 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 20.2

Reescreva a expressão.

$6 \frac{2 \cdot 6 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 21

Multiplique $2$ por $6$ .

$6 \frac{12 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 22

Combine $6$ e $\frac{12 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{6 (12 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 23

Fatore $2$ de $6 (12 + t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (3 (12 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 24

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Fatore $2$ de $2 {(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{2 (3 (12 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 24.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 (12 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 24.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (12 + t^{\frac{1}{2}})}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 25

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \cdot 12 + 3 t^{\frac{1}{2}}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 25.2

Multiplique $3$ por $12$ .

$\frac{36 + 3 t^{\frac{1}{2}}}{{(6 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 25.3

Reordene os termos.

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}} + 36}{{(t^{\frac{1}{2}} + 6)}^{2}}$

Etapa 25.4

Fatore $3$ de $3 t^{\frac{1}{2}} + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.4.1

Fatore $3$ de $3 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (t^{\frac{1}{2}}) + 36}{{(t^{\frac{1}{2}} + 6)}^{2}}$

Etapa 25.4.2

Fatore $3$ de $36$ .

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 12}{{(t^{\frac{1}{2}} + 6)}^{2}}$

Etapa 25.4.3

Fatore $3$ de $3 t^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 12$ .

$\frac{3 (t^{\frac{1}{2}} + 12)}{{(t^{\frac{1}{2}} + 6)}^{2}}$