Cálculo Exemplos

$f (t) = K t^{2}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{f (t + h) - f t}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = t + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $t$ por $t + h$ na expressão.

$f (t + h) = K {(t + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Reescreva ${(t + h)}^{2}$ como $(t + h) (t + h)$ .

$f (t + h) = K ((t + h) (t + h))$

Etapa 2.1.2.2

Expanda $(t + h) (t + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (t + h) = K (t (t + h) + h (t + h))$

Etapa 2.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h (t + h))$

Etapa 2.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h)$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h \cdot h)$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h^{2})$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $t h$ e $h t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.2.1

Reordene $t$ e $h$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + h t + h t + h^{2})$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Some $h t$ e $h t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + 2 h t + h^{2})$

Etapa 2.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (t + h) = K t^{2} + K (2 h t) + K h^{2}$

Etapa 2.1.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (t + h) = K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

Etapa 2.1.2.6

A resposta final é $K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$ .

$K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $K t^{2}$ .

$2 K h t + K h^{2} + K t^{2}$

Etapa 2.2.2

Reordene $2 K h t$ e $K h^{2}$ .

$K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + K t^{2} - (K t^{2})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Subtraia $K t^{2}$ de $K t^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + 0}{h}$

Etapa 4.1.2

Some $K h^{2} + 2 K h t$ e $0$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t}{h}$

Etapa 4.1.3

Fatore $K h$ de $K h^{2} + 2 K h t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Fatore $K h$ de $K h^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + 2 K h t}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Fatore $K h$ de $2 K h t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + K h (2 t)}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Fatore $K h$ de $K h \cdot h + K h (2 t)$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $K (h + 2 t)$ por $1$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} K (h + 2 t)$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + K (2 t)$

Etapa 4.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + 2 K t$

Etapa 4.2.3.2

Reordene $K h$ e $2 K t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} 2 K t + K h$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 K t + lim_{h \to 0} K h$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $2 K t$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 K t + lim_{h \to 0} K h$

Etapa 5.3

Mova o termo $K$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$2 K t + K lim_{h \to 0} h$

Etapa 6

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$2 K t + K \cdot 0$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $K$ por $0$ .

$2 K t + 0$

Etapa 7.2

Some $2 K t$ e $0$ .

$2 K t$

Etapa 8