Cálculo Exemplos

$2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

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Etapa 2.1.2.1.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + (3 x + 3 h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Etapa 2.1.2.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$

Etapa 2.2

Reordene.

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Etapa 2.2.1

Mova $- 5 x$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Etapa 2.2.2

Mova $3 x y$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Etapa 2.2.3

Mova $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Etapa 2.2.4

Reordene $4 h x$ e $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - (2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y)}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - (2 x^{2}) - (3 x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - (3 x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} + 5 x - (2 y)}{h}$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y + 0 - 3 x y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $2 h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 3 x y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Etapa 4.1.5

Subtraia $3 x y$ de $3 x y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y + 0 - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Etapa 4.1.6

Some $2 h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Etapa 4.1.7

Subtraia $4 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h - 5 x + 2 y + 0 + 5 x - 2 y}{h}$

Etapa 4.1.8

Some $2 h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h - 5 x + 2 y + 5 x - 2 y}{h}$

Etapa 4.1.9

Some $- 5 x$ e $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 2 y + 0 - 2 y}{h}$

Etapa 4.1.10

Some $2 h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 2 y - 2 y}{h}$

Etapa 4.1.11

Subtraia $2 y$ de $2 y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 0}{h}$

Etapa 4.1.12

Some $2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h}{h}$

Etapa 4.1.13

Fatore $h$ de $2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h$ .

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Etapa 4.1.13.1

Fatore $h$ de $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + 4 h x + 3 h y - 5 h}{h}$

Etapa 4.1.13.2

Fatore $h$ de $4 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + 3 h y - 5 h}{h}$

Etapa 4.1.13.3

Fatore $h$ de $3 h y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + h (3 y) - 5 h}{h}$

Etapa 4.1.13.4

Fatore $h$ de $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + h (3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Etapa 4.1.13.5

Fatore $h$ de $h (2 h) + h (4 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x) + h (3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Etapa 4.1.13.6

Fatore $h$ de $h (2 h + 4 x) + h (3 y)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Etapa 4.1.13.7

Fatore $h$ de $h (2 h + 4 x + 3 y) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y - 5)}{h}$

Etapa 4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y - 5)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $2 h + 4 x + 3 y - 5$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h + 4 x + 3 y - 5$

Etapa 4.2.2

Mova $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x + 3 y + 2 h - 5$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $4 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$4 x + lim_{h \to 0} 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $3 y$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$4 x + 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Etapa 5.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$4 x + 3 y + 2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Etapa 5.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$4 x + 3 y + 2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Etapa 6

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$4 x + 3 y + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 5$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 1 \cdot 5$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5$

Etapa 7.2

Some $4 x + 3 y$ e $0$ .

$4 x + 3 y - 5$

Etapa 8