Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \sqrt{x} + 6 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \sqrt{π}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 \sqrt{x} + 6 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \sqrt{π}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2.10

Combine $5$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 2.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Etapa 3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{3}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Etapa 4.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 4.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 4.5

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 4.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 4.6.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Etapa 5

Como $\sqrt{π}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\sqrt{π}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x + 0$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Some $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x$ e $0$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x$

Etapa 6.2

Reordene os termos.

$18 x^{2} - x + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$