Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{a x}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = e^{a (x + h)}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = e^{a x + a h}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $e^{a x + a h}$ .

$e^{a x + a h}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = e^{a x + a h}$

$f (x) = e^{a x}$

$f (x + h) = e^{a x + a h}$

$f (x) = e^{a x}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} - (e^{a x})}{h}$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $e^{a x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} - e^{a x}}{h}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{a x + a h} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{a x + a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} a x + a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{lim_{h \to 0} a x + lim_{h \to 0} a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.4

Avalie o limite de $a x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{a x + lim_{h \to 0} a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.5

Mova o termo $a$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{e^{a x + a lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.6

Avalie o limite de $e^{a x}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{a x + a lim_{h \to 0} h} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{e^{a x + a \cdot 0} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.3.1.1

Multiplique $a$ por $0$ .

$\frac{e^{a x + 0} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.3.1.2

Some $a x$ e $0$ .

$\frac{e^{a x} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.3.2

Subtraia $e^{a x}$ de $e^{a x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} - e^{a x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{a x + a h} - e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{a x + a h} - e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{a x + a h} - e^{a x}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [e^{a x + a h}] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{a x + a h}] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [e^{a x + a h}]$ .

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Etapa 5.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = e^{h}$ e $g (h) = a x + a h$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $a x + a h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [a x + a h] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [a x + a h] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $a x + a h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} \frac{d}{d h} [a x + a h] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x + a h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [a x] + \frac{d}{d h} [a h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (\frac{d}{d h} [a x] + \frac{d}{d h} [a h]) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.3

Como $a x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $a x$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + \frac{d}{d h} [a h]) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.4

Como $a$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $a h$ em relação a $h$ é $a \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + a \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + a \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.6

Multiplique $a$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + a) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.7

Some $0$ e $a$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} a + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.4

Como $- e^{a x}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- e^{a x}$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} a + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.5

Simplifique.

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Etapa 5.3.5.1

Some $e^{a x + a h} a$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} a}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.5.2

Reordene os fatores em $e^{a x + a h} a$ .

$lim_{h \to 0} \frac{a e^{a x + a h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{a e^{a x + a h}}{1}$

Etapa 5.4

Divida $a e^{a x + a h}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} a e^{a x + a h}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Mova o termo $a$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$a lim_{h \to 0} e^{a x + a h}$

Etapa 6.2

Mova o limite para o expoente.

$a e^{lim_{h \to 0} a x + a h}$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$a e^{lim_{h \to 0} a x + lim_{h \to 0} a h}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $a x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$a e^{a x + lim_{h \to 0} a h}$

Etapa 6.5

Mova o termo $a$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$a e^{a x + a lim_{h \to 0} h}$

Etapa 7

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$a e^{a x + a \cdot 0}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Multiplique $a$ por $0$ .

$a e^{a x + 0}$

Etapa 8.2

Some $a x$ e $0$ .

$a e^{a x}$

Etapa 9