Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{27 - 6 x - x^{2}}{x - 3}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{27 - 6 (x + h) - {(x + h)}^{2}}{(x + h) - 3}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ e cuja soma é $b = - 6$ .

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Etapa 2.1.2.1.1.1.1

Reordene os termos.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 27 - 6 (x + h)}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.1.1.1.2

Reordene $27$ e $- 6 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} - 6 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.1.1.1.3

Reescreva $- 6$ como $3$ mais $- 9$

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + (3 - 9) (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.1.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.2.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x + h) = \frac{(- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x + h) = \frac{(x + h) (- (x + h) + 3) + 9 (- (x + h) + 3)}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- (x + h) + 3$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{(- x - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- x - h + 3$ e $x + h - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.2.1.4

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x + h) - 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.2.1.6

Reescreva $- (x + h - 3)$ como $- 1 (x + h - 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.2.1.7

Cancele o fator comum.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Etapa 2.1.2.2.1.8

Divida $- 1 (x + h + 9)$ por $1$ .

$f (x + h) = - 1 (x + h + 9)$

Etapa 2.1.2.2.2

Reescreva $- 1 (x + h + 9)$ como $- (x + h + 9)$ .

$f (x + h) = - (x + h + 9)$

Etapa 2.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = - x - h - 1 \cdot 9$

Etapa 2.1.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (x + h) = - x - h - 9$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é $- x - h - 9$ .

$- x - h - 9$

Etapa 2.2

Reordene $- x$ e $- h$ .

$- h - x - 9$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 - (- 9 - x)}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + 1 x}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $- x$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0 - 9 + 9}{h}$

Etapa 4.1.5

Some $- h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - 9 + 9}{h}$

Etapa 4.1.6

Some $- 9$ e $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0}{h}$

Etapa 4.1.7

Some $- h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Etapa 4.2.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 1$

Etapa 5

Avalie o limite de $- 1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- 1$

Etapa 6