Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 x - 2 x^{2} + 6}{2 x}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Fatore $2$ de $4 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Etapa 2.1.2.1.2

Fatore $2$ de $- 2 {(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Etapa 2.1.2.1.3

Fatore $2$ de $2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Etapa 2.1.2.1.4

Fatore $2$ de $6$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 \cdot 3}{2 (x + h)}$

Etapa 2.1.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 (3)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Etapa 2.1.2.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Etapa 2.1.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3}{x + h}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Deixe $u = x + h$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{2 u - u^{2} + 3}{x + h}$

Etapa 2.1.2.2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.2.1

Reordene os termos.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 u + 3}{x + h}$

Etapa 2.1.2.2.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2 u$ .

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 (u) + 3}{x + h}$

Etapa 2.1.2.2.2.2.2

Reescreva $2$ como $- 1$ mais $3$

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3}{x + h}$

Etapa 2.1.2.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} - 1 u + 3 u + 3}{x + h}$

Etapa 2.1.2.2.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x + h) = \frac{(- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3}{x + h}$

Etapa 2.1.2.2.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x + h) = \frac{u (- u - 1) - 3 (- u - 1)}{x + h}$

Etapa 2.1.2.2.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 1$ .

$f (x + h) = \frac{(- u - 1) (u - 3)}{x + h}$

Etapa 2.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Etapa 2.1.2.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{(- x - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Etapa 2.1.2.3.2

Fatore $- 1$ de $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Etapa 2.1.2.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Etapa 2.1.2.3.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Etapa 2.1.2.3.5

Fatore $- 1$ de $- (x + h) - 1 (1)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Etapa 2.1.2.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.6.1

Reescreva $- (x + h + 1)$ como $- 1 (x + h + 1)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Etapa 2.1.2.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Etapa 2.1.2.4

A resposta final é $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ .

$- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} - (- \frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + 1 (\frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Etapa 4.1.1.2

Multiplique $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Etapa 4.1.3

Para escrever $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 4.1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Multiplique $\frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.4.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{x (x + h)} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1 \cdot 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.3

Expanda $(- x - h - 1) (x + h - 3)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.4.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.4.3

Multiplique $h$ por $h$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.3.1

Mova $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - (h \cdot h) - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.4.3.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.4.4

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.4.5

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.4.6

Reescreva $- 1 h$ como $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.4.7

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.5

Subtraia $h x$ de $- x h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.1

Mova $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - 1 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.5.2

Subtraia $x h$ de $- x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.6

Subtraia $x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 3 h - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.7

Subtraia $h$ de $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 2 h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} x - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.9.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.9.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.9.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.9.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.9.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{1 + 2} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.9.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.9.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.9.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 (x \cdot x) h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.9.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.9.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.9.3.1

Mova $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 (x \cdot x) - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.9.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.10

Expanda $(x + 1) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x (x - 3) + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.11.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.11.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.11.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.11.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.11.2

Some $- 3 x$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 2 x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.12

Expanda $(x^{2} - 2 x - 3) (x + h)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.13

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.13.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.13.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.13.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.13.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2 + 1} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.13.1.2

Some $2$ e $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.13.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.6.13.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.13.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.14

Some $- x^{3}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.15

Some $- 2 x^{2} h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.16

Some $- 2 x^{2} h$ e $x^{2} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.17

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.18

Some $- x^{2} h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.19

Subtraia $2 x h$ de $2 h x$ .

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Etapa 4.1.6.19.1

Mova $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 2 x h - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.19.2

Subtraia $2 x h$ de $2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 0 - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.20

Some $- x^{2} h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.21

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 0 - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.22

Some $- x^{2} h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.23

Fatore $h$ de $- x^{2} h - h^{2} x - 3 h$ .

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Etapa 4.1.6.23.1

Fatore $h$ de $- x^{2} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.23.2

Fatore $h$ de $- h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.23.3

Fatore $h$ de $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.23.4

Fatore $h$ de $h (- x^{2}) + h (- h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6.23.5

Fatore $h$ de $h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Combine.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Etapa 4.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h)}$

Etapa 4.5

Multiplique $- x^{2} - h x - 3$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} - h x - 3}{x (x + h)}$

Etapa 4.6

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - h x - 3}{x (x + h)}$

Etapa 4.7

Fatore $- 1$ de $- h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - (h x) - 3}{x (x + h)}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 3}{x (x + h)}$

Etapa 4.9

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 1 \cdot 3}{x (x + h)}$

Etapa 4.10

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + h x) - 1 (3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Etapa 4.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.11.1

Reescreva $- (x^{2} + h x + 3)$ como $- 1 (x^{2} + h x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1 (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Etapa 4.11.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Etapa 5

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{1}{x}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x + h}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + h x + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Etapa 9

Avalie o limite de $x^{2}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Etapa 10

Mova o termo $x$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Etapa 11

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Etapa 12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Etapa 13

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + 0}$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.1.1

Multiplique $x$ por $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 0 + 3}{x + 0}$

Etapa 15.1.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x + 0}$

Etapa 15.2

Some $x$ e $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$

Etapa 15.3

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$ .

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Etapa 15.3.1

Multiplique $\frac{x^{2} + 3}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x \cdot x}$

Etapa 15.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x}$

Etapa 15.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x^{1}}$

Etapa 15.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1 + 1}}$

Etapa 15.3.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{2}}$

Etapa 16