Cálculo Exemplos

$y = 8 x - x^{2}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 8 (x + h) - {(x + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - {(x + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.2

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - ((x + h) (x + h))$

Etapa 2.1.2.1.3

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x (x + h) + h (x + h))$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Etapa 2.1.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Etapa 2.1.2.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Etapa 2.1.2.1.4.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.1.4.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.1.4.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Etapa 2.1.2.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $8 x$ .

$8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 8 x$

Etapa 2.2.2

Mova $8 h$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 8 h + 8 x$

Etapa 2.2.3

Mova $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + 8 h + 8 x$

Etapa 2.2.4

Reordene $- 2 h x$ e $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

$f (x) = 8 x - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

$f (x) = 8 x - x^{2}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - (8 x - x^{2})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - (8 x) + x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + 1 x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x + 0}{h}$

Etapa 4.1.5

Some $- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x}{h}$

Etapa 4.1.6

Subtraia $8 x$ de $8 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 0}{h}$

Etapa 4.1.7

Some $- h^{2} - 2 h x + 8 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h}{h}$

Etapa 4.1.8

Fatore $h$ de $- h^{2} - 2 h x + 8 h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Fatore $h$ de $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + 8 h}{h}$

Etapa 4.1.8.2

Fatore $h$ de $- 2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + 8 h}{h}$

Etapa 4.1.8.3

Fatore $h$ de $8 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 8}{h}$

Etapa 4.1.8.4

Fatore $h$ de $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 8}{h}$

Etapa 4.1.8.5

Fatore $h$ de $h (- h - 2 x) + h \cdot 8$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 8)}{h}$

Etapa 4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 8)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $- h - 2 x + 8$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 8$

Etapa 4.2.2

Reordene $- h$ e $- 2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 8$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8$

Etapa 6

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8$

Etapa 7

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 8$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- 2 x + 0 + 8$

Etapa 8.2

Some $- 2 x$ e $0$ .

$- 2 x + 8$

Etapa 9