Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

A resposta final é $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ como ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.3

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

Etapa 4.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{1}{x + h}$ e $b = \frac{1}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.1

Para escrever $\frac{1}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Para escrever $\frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.5.3.1

Multiplique $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.3.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Some $x$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Para escrever $\frac{1}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Para escrever $- \frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.5.8.1

Multiplique $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Etapa 4.1.5.8.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Etapa 4.1.5.8.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Reescreva $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10.3

Subtraia $h$ de $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (- 1 \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Etapa 4.1.7

Combine expoentes.

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Etapa 4.1.7.1

Fatore o negativo.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Etapa 4.1.7.2

Multiplique $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ por $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Etapa 4.1.7.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.7.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.7.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.7.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.7.7

Eleve $x + h$ à potência de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

Etapa 4.1.7.8

Eleve $x + h$ à potência de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

Etapa 4.1.7.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Etapa 4.1.7.10

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ para o numerador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Fatore $h$ de $- (2 x + h) h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.4

Reescreva a expressão.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Etapa 5

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{1}{x^{2}}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{{(x + h)}^{2}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Etapa 9

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Etapa 10

Mova o expoente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}$

Etapa 11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Etapa 12

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Etapa 13

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 13.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Etapa 13.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + 0)}^{2}}$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{{(x + 0)}^{2}}$

Etapa 14.2

Some $x$ e $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 14.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Etapa 14.3.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Etapa 14.3.3

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 14.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 14.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{2}{x^{2}}$

Etapa 14.4

Multiplique $\frac{- 1}{x}$ por $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{x \cdot x^{2}}$

Etapa 14.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x^{2}}$

Etapa 14.6

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.6.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 14.6.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2}{x^{1} x^{2}}$

Etapa 14.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2}{x^{1 + 2}}$

Etapa 14.6.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Etapa 14.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 15