Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Multiplique $1 + 3 x^{2}$ por $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x (2 x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.9

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x \cdot x}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{1 + 1}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.8

Subtraia $6 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.9

Combine $6$ e $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.10.2.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.10.2.2

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$\frac{6 - 18 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.10.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 6}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 18 x^{2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.3

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 18$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.6

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + 0) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.7

Some $- 36 x$ e $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 (3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + 0))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.7.1

Some $6 x$ e $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.7.2

Mova $6$ para a esquerda de $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) (6 \cdot (3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.7.3

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 12 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 36 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.2

Reescreva ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ como $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ .

$\frac{- 36 ((3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3

Expanda $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.5

Multiplique $3 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.2

Some $3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 6 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- 36 (9 x^{4}) - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.6.1

Multiplique $9$ por $- 36$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6.2

Multiplique $6$ por $- 36$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6.3

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 324 x^{4} x - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$\frac{- 324 (x \cdot x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 324 (x^{1} x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 324 x^{1 + 4} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x \cdot x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x^{1} x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{1 + 2} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 18$ por $- 12$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 12$ por $6$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Mova $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{1 + 2} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11

Expanda $(216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3} + x) - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{2} x^{3} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 (x^{3} x^{2}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{3 + 2} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multiplique $216$ por $3$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x \cdot x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x^{1} x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{1 + 2} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Multiplique $3$ por $- 72$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 216 x^{3} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.2

Subtraia $216 x^{3}$ de $216 x^{3}$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 0 - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.3

Some $648 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.2

Some $- 324 x^{5}$ e $648 x^{5}$ .

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.3

Subtraia $72 x$ de $- 36 x$ .

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1

Fatore $108 x$ de $324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1.1

Fatore $108 x$ de $324 x^{5}$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.2

Fatore $108 x$ de $- 216 x^{3}$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.3

Fatore $108 x$ de $- 108 x$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.4

Fatore $108 x$ de $108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2})$ .

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.5

Fatore $108 x$ de $108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)$ .

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{108 x (3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ e cuja soma é $b = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.4.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 u$ .

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 (u) - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.1.2

Reescreva $- 2$ como $1$ mais $- 3$

$\frac{108 x (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{108 x (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$\frac{108 x (3 u^{2} + u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{108 x ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{108 x (u (3 u + 1) - (3 u + 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u + 1$ .

$\frac{108 x ((3 u + 1) (u - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.7

Fatore.

$\frac{108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5

Cancele o fator comum de $3 x^{2} + 1$ e ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.5.1

Fatore $3 x^{2} + 1$ de $108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.5.2.1

Fatore $3 x^{2} + 1$ de ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(108 x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$108 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.3.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.3.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.3.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $108 x (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 + 3 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} = - 1$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Etapa 2.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Reescreva $- \frac{1}{3}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Etapa 2.2.4.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Etapa 2.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Etapa 2.2.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.2.4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.4.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 2.2.4.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.2.4.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.2.4.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.2.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.2.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.2.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.2.4.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.2.4.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = \frac{108 (- 4) ((- 4) + 1) ((- 4) - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $108$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Some $48$ e $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{49^{3}}$

Etapa 4.2.2.4

Eleve $49$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{117649}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Some $- 4$ e $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 \cdot (- 3 (- 4 - 1))}{117649}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $- 432$ por $- 3$ .

$f'' (- 4) = \frac{1296 (- 4 - 1)}{117649}$

Etapa 4.2.3.3

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{1296 \cdot - 5}{117649}$

Etapa 4.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Multiplique $1296$ por $- 5$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 6480}{117649}$

Etapa 4.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 4) = - \frac{6480}{117649}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $- \frac{6480}{117649}$ .

$- \frac{6480}{117649}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f'' (- 0.5) = \frac{108 (- 0.5) ((- 0.5) + 1) ((- 0.5) - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $108$ por $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 54 (- 0.5 + 1) (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 54$ por $- 0.5 + 1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 27 (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 27$ por $- 0.5 - 1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 0.5$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $3$ por $0.25$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Some $0.75$ e $1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{1.75}^{3}}$

Etapa 5.2.2.4

Eleve $1.75$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{5.359375}$

Etapa 5.2.3

Divida $40.5$ por $5.359375$ .

$f'' (- 0.5) = 7.55685131$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $7.55685131$ .

$7.55685131$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 1, 0)$ porque $f'' (- 0.5)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 1, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.5$ na expressão.

$f'' (0.5) = \frac{108 (0.5) ((0.5) + 1) ((0.5) - 1)}{{(3 {(0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $108$ por $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{54 (0.5 + 1) (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $54$ por $0.5 + 1$ .

$f'' (0.5) = \frac{81 (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $81$ por $0.5 - 1$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $3$ por $0.25$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Some $0.75$ e $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{1.75}^{3}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $1.75$ à potência de $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{5.359375}$

Etapa 6.2.3

Divida $- 40.5$ por $5.359375$ .

$f'' (0.5) = - 7.55685131$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 7.55685131$ .

$- 7.55685131$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 1)$ porque $f'' (0.5)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{108 (4) ((4) + 1) ((4) - 1)}{{(3 {(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $108$ por $4$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 4^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Some $48$ e $1$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{49^{3}}$

Etapa 7.2.2.4

Eleve $49$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{117649}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Some $4$ e $1$ .

$f'' (4) = \frac{432 \cdot (5 (4 - 1))}{117649}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $432$ por $5$ .

$f'' (4) = \frac{2160 (4 - 1)}{117649}$

Etapa 7.2.3.3

Subtraia $1$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{2160 \cdot 3}{117649}$

Etapa 7.2.4

Multiplique $2160$ por $3$ .

$f'' (4) = \frac{6480}{117649}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $\frac{6480}{117649}$ .

$\frac{6480}{117649}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 1, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9