Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{9 - x^{2}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva $\frac{1}{9 - x^{2}}$ como ${(9 - x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(9 - x^{2})}^{- 1})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 9 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 1.1.1.3.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 1.1.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.5

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Multiplique ${(9 - x^{2})}^{- 2}$ por $1$ .

$f' (x) = {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = {(9 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.1.1.3.7

Mova $2$ para a esquerda de ${(9 - x^{2})}^{- 2}$ .

$f' (x) = 2 \cdot ({(9 - x^{2})}^{- 2} x)$

Etapa 1.1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{{(9 - x^{2})}^{2}}) \cdot x$

Etapa 1.1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1.1

Combine $2$ e $\frac{1}{{(9 - x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(9 - x^{2})}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.1.1.5.1.2

Combine $\frac{2}{{(9 - x^{2})}^{2}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(9 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(- x^{2} + 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{({(- x^{2} + 9)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(- x^{2} + 9)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique ${(- x^{2} + 9)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = - x^{2} + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (2 (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.5.2

Fatore $- x^{2} + 9$ de ${(- x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 9])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.2.1

Fatore $- x^{2} + 9$ de ${(- x^{2} + 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.5.2.2

Fatore $- x^{2} + 9$ de $- 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 9])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) + (- x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.5.2.3

Fatore $- x^{2} + 9$ de $(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) + (- x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 9]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore $- x^{2} + 9$ de ${(- x^{2} + 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{(- x^{2} + 9) {(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{(- x^{2} + 9) {(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- (2 x) + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.11

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x + 0)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.1

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.12.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x \cdot x}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 (x \cdot x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 (x \cdot x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x^{1 + 1}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.16

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.17

Some $- x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{3 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.18

Combine $2$ e $\frac{3 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.19

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.19.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.2.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 2 \cdot 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.19.2.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$6 x^{2} + 18 = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$6 x^{2} = - 18$

Etapa 1.2.3.2

Divida cada termo em $6 x^{2} = - 18$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Divida cada termo em $6 x^{2} = - 18$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{- 18}{6}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{- 18}{6}$

Etapa 1.2.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{6}$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1

Divida $- 18$ por $6$ .

$x^{2} = - 3$

Etapa 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 1.2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 1.2.3.4.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.4.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{9 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{1}{9 - x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$9 - x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 9$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Divida $- 9$ por $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 2.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 2.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 2.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 2.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 3, - 3}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 3, - 3}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = \frac{6 {(- 6)}^{2} + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{6 \cdot 36 + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $6$ por $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{216 + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.3

Some $216$ e $18$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 1 \cdot 36 + 9)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 36 + 9)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Some $- 36$ e $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 27)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.4

Eleve $- 27$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{- 19683}$

Etapa 4.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum de $234$ e $- 19683$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Fatore $9$ de $234$ .

$f'' (- 6) = \frac{9 (26)}{- 19683}$

Etapa 4.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.2.1

Fatore $9$ de $- 19683$ .

$f'' (- 6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Etapa 4.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 6) = \frac{26}{- 2187}$

Etapa 4.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 6) = - \frac{26}{2187}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $- \frac{26}{2187}$ .

$- \frac{26}{2187}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 3, 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{6 {(0)}^{2} + 18}{{(- {(0)}^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 0 + 18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Some $0$ e $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(- 0 + 9)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 9)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Some $0$ e $9$ .

$f'' (0) = \frac{18}{9^{3}}$

Etapa 5.2.2.4

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{729}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $18$ e $729$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $9$ de $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{729}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $9$ de $729$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 81}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 81}$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{2}{81}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $\frac{2}{81}$ .

$\frac{2}{81}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 3, 3)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 3, 3)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(3, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = \frac{6 {(6)}^{2} + 18}{{(- {(6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $6$ por $6^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Multiplique $6$ por $6^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.1

Eleve $6$ à potência de $1$ .

$f'' (6) = \frac{6 \cdot 6^{2} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (6) = \frac{6^{1 + 2} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{3} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = \frac{216 + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Some $216$ e $18$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 1 \cdot 36 + 9)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 36 + 9)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Some $- 36$ e $9$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 27)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $- 27$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = \frac{234}{- 19683}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum de $234$ e $- 19683$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Fatore $9$ de $234$ .

$f'' (6) = \frac{9 (26)}{- 19683}$

Etapa 6.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Fatore $9$ de $- 19683$ .

$f'' (6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Etapa 6.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (6) = \frac{26}{- 2187}$

Etapa 6.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (6) = - \frac{26}{2187}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{26}{2187}$ .

$- \frac{26}{2187}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(3, \infty)$ porque $f'' (6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 3, 3)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8