Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x^{2} - 16}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 16})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.3.2

Multiplique $x^{2} - 16$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.3.5

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.1.9

Combine $2$ e $\frac{- x^{2} - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.10.2.2

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 32) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{({(x^{2} - 16)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 16)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 32) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 32) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} - 32$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.6

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.7

Some $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 32) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 32) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 32) (2 (x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.4

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) (2 x))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) (2 \cdot ((x^{2} - 16) x))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) ((x^{2} - 16) x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} - 16)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} - 16)}^{2}$ como $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} - 16) (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Mova $- 16$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $- 16$ por $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.2

Subtraia $16 x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (- 32 x^{2}) - 4 \cdot 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.6.1

Multiplique $- 32$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 128 x^{2} - 4 \cdot 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 4$ por $256$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 128 x^{2} - 1024) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x + 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} + 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 (x \cdot x^{2}) - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 (x \cdot x^{2}) - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{1 + 2} - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} + 128) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} + 128) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} + 128) (x^{2 + 1} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} + 128) (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11

Expanda $(8 x^{2} + 128) (x^{3} - 16 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{2} (x^{3} - 16 x) + 128 (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 16 x) + 128 (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 16 x) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (- 16 x) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (- 16 x) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (- 16 x) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 16 x^{2} x) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 16 (x \cdot x^{2})) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 16 (x \cdot x^{2})) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 16 x^{1 + 2}) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 16 x^{3}) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Multiplique $8$ por $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} - 128 x^{3} + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Multiplique $- 16$ por $128$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} - 128 x^{3} + 128 x^{3} - 2048 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.2

Some $- 128 x^{3}$ e $128 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 0 - 2048 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.3

Some $8 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} - 2048 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.2

Some $- 4 x^{5}$ e $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x - 2048 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.3

Subtraia $2048 x$ de $- 1024 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 128 x^{3} - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{5} + 128 x^{3} - 3072 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 128 x^{3} - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.2

Fatore $4 x$ de $128 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (32 x^{2}) - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.3

Fatore $4 x$ de $- 3072 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (32 x^{2}) + 4 x (- 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{4}) + 4 x (32 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 4 x (- 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 4 x (- 768)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} + 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} + 32 u - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4

Fatore $u^{2} + 32 u - 768$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 768$ e cuja soma é $32$ .

$- 16, 48$

Etapa 1.1.2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 16) (u + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 16) (x^{2} + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.6

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{((x + 4) (x - 4))}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.6

Cancele o fator comum de $x + 4$ e ${(x + 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.6.1

Fatore $x + 4$ de $4 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((4 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.6.2.1

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((4 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Etapa 1.1.2.5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((4 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Etapa 1.1.2.5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(4 x (x - 4)) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.7

Cancele o fator comum de $x - 4$ e ${(x - 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.7.1

Fatore $x - 4$ de $(4 x (x - 4)) (x^{2} + 48)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((4 x) (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.7.2.1

Fatore $x - 4$ de ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((4 x) (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Etapa 1.1.2.5.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((4 x) (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Etapa 1.1.2.5.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(4 x) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 x (x^{2} + 48) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.3.3

Defina $x^{2} + 48$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina $x^{2} + 48$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Resolva $x^{2} + 48 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Subtraia $48$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 48$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 48}$

Etapa 1.2.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 48}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.3.1

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (48)}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{48}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.3.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \cdot (4 \sqrt{3})$

Etapa 1.2.3.3.2.3.6

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 4 i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4 i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4 i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x^{2} + 48) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{2 x}{x^{2} - 16}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 16$

Etapa 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 4, - 4}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 4, - 4}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = \frac{4 (- 6) ({(- 6)}^{2} + 48)}{{((- 6) + 4)}^{3} {((- 6) - 4)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $4$ por $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 6 + 4)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $- 6$ e $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 2)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $4$ de $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 2)}^{3} {(- 10)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 48)}{- 8 {(- 10)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.4

Eleve $- 10$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 48)}{- 8 \cdot - 1000}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 (36 + 48)}{- 8 \cdot - 1000}$

Etapa 4.2.3.2

Some $36$ e $48$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 \cdot 84}{- 8 \cdot - 1000}$

Etapa 4.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Multiplique $- 8$ por $- 1000$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 \cdot 84}{8000}$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $- 24$ por $84$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2016}{8000}$

Etapa 4.2.4.3

Cancele o fator comum de $- 2016$ e $8000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.1

Fatore $32$ de $- 2016$ .

$f'' (- 6) = \frac{32 (- 63)}{8000}$

Etapa 4.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.2.1

Fatore $32$ de $8000$ .

$f'' (- 6) = \frac{32 \cdot - 63}{32 \cdot 250}$

Etapa 4.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 6) = \frac{32 \cdot - 63}{32 \cdot 250}$

Etapa 4.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 6) = \frac{- 63}{250}$

Etapa 4.2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 6) = - \frac{63}{250}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $- \frac{63}{250}$ .

$- \frac{63}{250}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 4, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{4 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 48)}{{((- 2) + 4)}^{3} {((- 2) - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 48)}{{(- 2 + 4)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $- 2$ e $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 48)}{2^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $4$ de $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 48)}{2^{3} {(- 6)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 48)}{8 {(- 6)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.4

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 48)}{8 \cdot - 216}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 (4 + 48)}{8 \cdot - 216}$

Etapa 5.2.3.2

Some $4$ e $48$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 \cdot 52}{8 \cdot - 216}$

Etapa 5.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $8$ por $- 216$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 \cdot 52}{- 1728}$

Etapa 5.2.4.2

Multiplique $- 8$ por $52$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 416}{- 1728}$

Etapa 5.2.4.3

Cancele o fator comum de $- 416$ e $- 1728$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Fatore $- 32$ de $- 416$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 32 \cdot 13}{- 1728}$

Etapa 5.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.2.1

Fatore $- 32$ de $- 1728$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 32 \cdot 13}{- 32 \cdot 54}$

Etapa 5.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 2) = \frac{- 32 \cdot 13}{- 32 \cdot 54}$

Etapa 5.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 2) = \frac{13}{54}$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $\frac{13}{54}$ .

$\frac{13}{54}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 4, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 4, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{4 (2) ({(2)}^{2} + 48)}{{((2) + 4)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 48)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $2$ e $4$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 48)}{6^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 48)}{6^{3} {(- 2)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 48)}{216 {(- 2)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 48)}{216 \cdot - 8}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 (4 + 48)}{216 \cdot - 8}$

Etapa 6.2.3.2

Some $4$ e $48$ .

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 52}{216 \cdot - 8}$

Etapa 6.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $216$ por $- 8$ .

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 52}{- 1728}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $8$ por $52$ .

$f'' (2) = \frac{416}{- 1728}$

Etapa 6.2.4.3

Cancele o fator comum de $416$ e $- 1728$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.3.1

Fatore $32$ de $416$ .

$f'' (2) = \frac{32 (13)}{- 1728}$

Etapa 6.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.3.2.1

Fatore $32$ de $- 1728$ .

$f'' (2) = \frac{32 \cdot 13}{32 \cdot - 54}$

Etapa 6.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = \frac{32 \cdot 13}{32 \cdot - 54}$

Etapa 6.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = \frac{13}{- 54}$

Etapa 6.2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (2) = - \frac{13}{54}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $- \frac{13}{54}$ .

$- \frac{13}{54}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 4)$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = \frac{4 (6) ({(6)}^{2} + 48)}{{((6) + 4)}^{3} {((6) - 4)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $4$ por $6$ .

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 48)}{{(6 + 4)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $6$ e $4$ .

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 48)}{10^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $4$ de $6$ .

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 48)}{10^{3} \cdot 2^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 48)}{1000 \cdot 2^{3}}$

Etapa 7.2.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 48)}{1000 \cdot 8}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{24 (36 + 48)}{1000 \cdot 8}$

Etapa 7.2.3.2

Some $36$ e $48$ .

$f'' (6) = \frac{24 \cdot 84}{1000 \cdot 8}$

Etapa 7.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $1000$ por $8$ .

$f'' (6) = \frac{24 \cdot 84}{8000}$

Etapa 7.2.4.2

Multiplique $24$ por $84$ .

$f'' (6) = \frac{2016}{8000}$

Etapa 7.2.4.3

Cancele o fator comum de $2016$ e $8000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.3.1

Fatore $32$ de $2016$ .

$f'' (6) = \frac{32 (63)}{8000}$

Etapa 7.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.3.2.1

Fatore $32$ de $8000$ .

$f'' (6) = \frac{32 \cdot 63}{32 \cdot 250}$

Etapa 7.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (6) = \frac{32 \cdot 63}{32 \cdot 250}$

Etapa 7.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (6) = \frac{63}{250}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $\frac{63}{250}$ .

$\frac{63}{250}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(4, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 4, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9