Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\cot (x)}{\sin (x)}$

Etapa 1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}]$

Etapa 2

Reescreva $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ como um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}]$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}]$

Etapa 3.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 5

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 6

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 7

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 9

Some $1$ e $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 10

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Etapa 11

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))$

Etapa 12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2}$

Etapa 13

Some $1$ e $2$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

Etapa 14

Reordene os termos.

$- \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x)$