Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ e $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.10

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.1

Expanda $(x - 2) (2 x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 x - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2

Subtraia $4 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 + 2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Some $- 6 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Fatore $x^{2} - 4 x + 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 3, - 1$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 3$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.4.2

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.8.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + x - 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.8.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 3 - 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.8.4

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Fatore $x - 2$ de ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.2.1

Fatore $x - 2$ de ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4)$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Fatore $x - 2$ de $- 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6.2.3

Fatore $x - 2$ de $(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.7

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Fatore $x - 2$ de ${(x - 2)}^{4}$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.10

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.11.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.1

Expanda $(x - 2) (2 x - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x - 4) - 2 (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x + 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 + (- 2 x + 6) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.4

Expanda $(- 2 x + 6) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x (x - 1) + 6 (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 6 (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 2 x + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 2 x + 6 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.2

Some $2 x$ e $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x - 6$ .

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Etapa 1.1.2.12.2.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x + 8 + 0 + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.2.2

Some $- 8 x + 8$ e $0$ .

$\frac{- 8 x + 8 + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.2.3

Some $- 8 x$ e $8 x$ .

$\frac{0 + 8 - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.2.4

Some $0$ e $8$ .

$\frac{8 - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.3

Subtraia $6$ de $8$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 2)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 8}$

Etapa 4.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ e $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (0) = \frac{2 (1)}{- 8}$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.2.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

Etapa 4.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{1}{- 4}$

Etapa 4.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{1}{4}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 2)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{2}{{((4) - 2)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Subtraia $2$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{2}{2^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{2}{8}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (4) = \frac{2 (1)}{8}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (4) = \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7