Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.9.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.9.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x)) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.1

Expanda $(x^{2} - 4) (2 x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 2) - 4 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.2.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2.5

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 (x \cdot x))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.3.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8 x + 8 + 0 + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2.2

Some $- 2 x^{2} - 8 x + 8$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8 x + 8 + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.3

Some $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.3.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 8 x + 8$ .

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Etapa 1.1.1.3.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) - 8 x + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.1.2

Fatore $2$ de $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.1.3

Fatore $2$ de $8$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.1.3.4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 1.1.1.3.4.2.3

Reescreva o polinômio.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1.3.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.2.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 2)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ como ${({(x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(x + 2)}^{2})}^{- 1})$

Etapa 1.1.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2 \cdot - 1})$

Etapa 1.1.2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{- 2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 2))$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 {(x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 ({(x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Etapa 1.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

Etapa 1.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (2))$

Etapa 1.1.2.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 1.1.2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.5.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{1}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{{(x + 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $4 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4$

Etapa 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{((- 4) + 2)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.1

Some $- 4$ e $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{- 8}$

Etapa 4.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ e $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (1)}{- 8}$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.2.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Etapa 4.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 4) = - \frac{1}{- 2}$

Etapa 4.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 4) = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 2, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{4}{{((0) + 2)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Some $0$ e $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{2^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{8}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (1)}{8}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 2, 2)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 2, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = - \frac{4}{{((4) + 2)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Some $4$ e $2$ .

$f'' (4) = - \frac{4}{6^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = - \frac{4}{216}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $216$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{4 (1)}{216}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Fatore $4$ de $216$ .

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 54}$

Etapa 6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 54}$

Etapa 6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (4) = - \frac{1}{54}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{54}$ .

$- \frac{1}{54}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 2, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para baixo em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8