Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 4$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((4 - x^{2}) x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.9

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.9.2

Multiplique $x^{2} + 4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) (2 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.11

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + 2 \cdot ((x^{2} + 4) x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1.4.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Combine os termos opostos em $8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.2.1

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 0 + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2.2

Some $8 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.3

Some $8 x$ e $8 x$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{16 x}{{(- x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{(- x^{2} + 2^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.2

Reordene $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{(2^{2} - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{((2 + x) (2 - x))}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.4

Aplique a regra do produto a $(2 + x) (2 - x)$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.2

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.2

Multiplique ${(2 + x)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(2 + x)}^{2}$ e $g (x) = {(2 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 - x)}^{2}) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 - x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 - x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 (2 - x) \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 + x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 \cdot ({(2 + x)}^{2} (2 - x)) \frac{d}{d x} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.6.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.6.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} (- x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.6.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (- \frac{d}{d x} x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.6.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} x + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \cdot 1 + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.6.8

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 + x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 + x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 (2 + x) \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 \cdot ({(2 - x)}^{2} (2 + x)) \frac{d}{d x} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.8.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} (x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.8.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \frac{d}{d x} (x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.8.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \cdot 1)}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.8.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.6.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.8.6.2

Combine $16$ e $\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1

Aplique a regra do produto a ${(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)) - x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.1

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.1.1

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.1.2

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)))$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.1.3

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.1.4

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x)))$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.1.5

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x)) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.1

Expanda $(2 + x) (2 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 (2 - x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x \cdot x + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.1.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 0 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.3

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 (x \cdot x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 x \cdot x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.9.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.9.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.9.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 x^{2}))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.9.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.4

Combine os termos opostos em $4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.4.1

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.4.2

Some $4 - x^{2} + 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.5

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.6

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 + x)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{2 \cdot 2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.5.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.5.2

Multiplique os expoentes em ${({(2 - x)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.9.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.9.5.3

Cancele o fator comum de $2 + x$ e ${(2 + x)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.3.1

Fatore $2 + x$ de $16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.9.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.3.2.1

Fatore $2 + x$ de ${(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Etapa 1.1.2.9.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Etapa 1.1.2.9.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.9.5.4

Cancele o fator comum de $2 - x$ e ${(2 - x)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.4.1

Fatore $2 - x$ de $16 (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.9.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.4.2.1

Fatore $2 - x$ de ${(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Etapa 1.1.2.9.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Etapa 1.1.2.9.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$ .

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$16 (4 + 3 x^{2}) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $16 (4 + 3 x^{2}) = 0$ por $16$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Divida cada termo em $16 (4 + 3 x^{2}) = 0$ por $16$ .

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{16} = \frac{0}{16}$

Etapa 1.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{16} = \frac{0}{16}$

Etapa 1.2.3.1.2.1.2

Divida $4 + 3 x^{2}$ por $1$ .

$4 + 3 x^{2} = \frac{0}{16}$

Etapa 1.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $16$ .

$4 + 3 x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} = - 4$

Etapa 1.2.3.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 1.2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 1.2.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Etapa 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.3.5

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Reescreva $- \frac{4}{3}$ como $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.3.5.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Etapa 1.2.3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Etapa 1.2.3.5.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.3.5.4

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.6

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 1.2.3.5.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.7.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.2.3.5.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.3.5.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.5.8

Combine $i$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 1.2.3.5.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$4 - x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 4$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 {(- 4)}^{2})}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Remova os parênteses.

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 {(- 4)}^{2})}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 16)}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 48)}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Some $4$ e $48$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Subtraia $4$ de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(2 + 4)}^{3}}$

Etapa 4.2.3.3

Some $2$ e $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} \cdot 6^{3}}$

Etapa 4.2.3.4

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{- 8 \cdot 6^{3}}$

Etapa 4.2.3.5

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{- 8 \cdot 216}$

Etapa 4.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Multiplique $16$ por $52$ .

$f'' (- 4) = \frac{832}{- 8 \cdot 216}$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $- 8$ por $216$ .

$f'' (- 4) = \frac{832}{- 1728}$

Etapa 4.2.4.3

Cancele o fator comum de $832$ e $- 1728$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.1

Fatore $64$ de $832$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 (13)}{- 1728}$

Etapa 4.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.2.1

Fatore $64$ de $- 1728$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Etapa 4.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Etapa 4.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 4) = \frac{13}{- 27}$

Etapa 4.2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 4) = - \frac{13}{27}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $- \frac{13}{27}$ .

$- \frac{13}{27}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 2, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 {(0)}^{2})}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Remova os parênteses.

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 {(0)}^{2})}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 0)}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 0)}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Some $4$ e $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 + 0)}^{3}}$

Etapa 5.2.3.3

Some $2$ e $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} \cdot 2^{3}}$

Etapa 5.2.3.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{8 \cdot 2^{3}}$

Etapa 5.2.3.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{8 \cdot 8}$

Etapa 5.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $16$ por $4$ .

$f'' (0) = \frac{64}{8 \cdot 8}$

Etapa 5.2.4.2

Multiplique $8$ por $8$ .

$f'' (0) = \frac{64}{64}$

Etapa 5.2.4.3

Divida $64$ por $64$ .

$f'' (0) = 1$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 2, 2)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 2, 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 {(4)}^{2})}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 {(4)}^{2})}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 16)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 48)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Some $4$ e $48$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Some $2$ e $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.3.3

Subtraia $4$ de $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(- 2)}^{3}}$

Etapa 6.2.3.4

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{216 {(- 2)}^{3}}$

Etapa 6.2.3.5

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{216 \cdot - 8}$

Etapa 6.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $16$ por $52$ .

$f'' (4) = \frac{832}{216 \cdot - 8}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $216$ por $- 8$ .

$f'' (4) = \frac{832}{- 1728}$

Etapa 6.2.4.3

Cancele o fator comum de $832$ e $- 1728$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.3.1

Fatore $64$ de $832$ .

$f'' (4) = \frac{64 (13)}{- 1728}$

Etapa 6.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.3.2.1

Fatore $64$ de $- 1728$ .

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Etapa 6.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Etapa 6.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (4) = \frac{13}{- 27}$

Etapa 6.2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (4) = - \frac{13}{27}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $- \frac{13}{27}$ .

$- \frac{13}{27}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 2, 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8