Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((2 x - 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.10.1

Some $2$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 2 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.3

Fatore $2$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.4

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - x) + 2 (1)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{({(2 x - 1)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.8

Some $2 x - 1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique ${(2 x - 1)}^{2}$ por $2 x - 1$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.4.1

Multiplique ${(2 x - 1)}^{2}$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 1.1.2.4.1.1

Eleve $2 x - 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2 + 1} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 u \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1.2.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.6.2

Fatore $2 x - 1$ de ${(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

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Etapa 1.1.2.6.2.1

Fatore $2 x - 1$ de ${(2 x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Fatore $2 x - 1$ de $- 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.6.2.3

Fatore $2 x - 1$ de $(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.7

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Fatore $2 x - 1$ de ${(2 x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.7.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.7.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.13

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.13.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.13.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.13.3

Combine $2$ e $\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 {(2 x - 1)}^{2} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.14.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.14.3.1.1

Reescreva ${(2 x - 1)}^{2}$ como $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x - 1) (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.2

Expanda $(2 x - 1) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.14.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.14.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.14.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.14.3.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.14.3.1.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.5.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.6

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (4 x) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.8

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.9

Multiplique $2 (- 4 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.14.3.1.9.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.1.9.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.2

Combine os termos opostos em $8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.14.3.2.1

Subtraia $8 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 0 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.2.2

Some $- 8 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.2.3

Some $- 8 x$ e $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.2.4

Some $0$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.3.3

Subtraia $8$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$6 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $6 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x - 1 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{6}{{(2 (0) - 1)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{{(0 - 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.2.1

Divida $6$ por $- 1$ .

$f'' (0) = 6$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$f'' (0) = 6$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, \frac{1}{2})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = - \frac{6}{{(2 (3) - 1)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{{(6 - 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{5^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{125}$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $- \frac{6}{125}$ .

$- \frac{6}{125}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ porque $f'' (3)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\frac{1}{2}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, \frac{1}{2})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\frac{1}{2}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7