Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.1.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4}{x^{5}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Etapa 1.1.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 5$ .

$- 4 (- 5 x^{- 6})$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $- 5$ por $- 4$ .

$20 x^{- 6}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Combine $20$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{6}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{20}{x^{6}}$ .

$\frac{20}{x^{6}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{20}{x^{6}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{20}{x^{6}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$20 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $20 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{4}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{4} = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Etapa 2.2.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 2.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{20}{{(- 2)}^{6}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{20}{64}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $20$ e $64$ .

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Etapa 4.2.2.1

Fatore $4$ de $20$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 (5)}{64}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Fatore $4$ de $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Etapa 4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Etapa 4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 2) = \frac{5}{16}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{20}{{(2)}^{6}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$f'' (2) = \frac{20}{64}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $20$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $4$ de $20$ .

$f'' (2) = \frac{4 (5)}{64}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $4$ de $64$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = \frac{5}{16}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7