Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ como ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Etapa 1.1.1.3.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))$

Etapa 1.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Etapa 1.1.1.3.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Etapa 1.1.1.3.6

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

Etapa 1.1.1.3.7

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

Etapa 1.1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 x - 6)$

Etapa 1.1.1.5

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ .

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [(2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 6) (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}))$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 x - 6$ e $g (x) = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.3.1

Reescreva $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ como ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.3.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.5.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.5.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.5.6

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + 0)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.5.7

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.6

Eleve $2 x - 6$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.7

Eleve $2 x - 6$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{1 + 1} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.9

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Etapa 1.1.2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Etapa 1.1.2.11

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Etapa 1.1.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Etapa 1.1.2.13

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Etapa 1.1.2.14

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

Etapa 1.1.2.15

Combine frações.

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Etapa 1.1.2.15.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot 2)$

Etapa 1.1.2.15.2

Combine $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ e $2$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.16

Para escrever $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.17

Combine $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ e $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (\frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.19

Multiplique ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}$ por ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.19.1

Mova ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}) {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 - 3} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.19.3

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.20.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.20.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x - 7$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.2.20.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 7, 1$

Etapa 1.1.2.20.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.4

Reescreva ${(2 x - 6)}^{2}$ como $(2 x - 6) (2 x - 6)$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot ((2 x - 6) (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.5

Expanda $(2 x - 6) (2 x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.2.20.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x - 6) - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.2.20.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.20.2.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.20.2.6.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.6.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.6.1.4

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.6.1.5

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.6.1.6

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.6.2

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 24 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2}) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.2.8.1

Multiplique $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (4 x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.2.8.1.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.8.1.2

Combine $- 4$ e $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.8.1.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.8.1.4

Combine $\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.8.2

Multiplique $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (- 24 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.2.8.2.1

Multiplique $- 24$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 24 (\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}) \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.8.2.2

Combine $24$ e $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{24 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.8.2.3

Multiplique $24$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.8.2.4

Combine $\frac{48}{(x - 7) (x + 1)}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.8.3

Multiplique $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.2.8.3.1

Multiplique $36$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - 36 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.8.3.2

Combine $- 36$ e $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 36 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.8.3.3

Multiplique $- 36$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.2.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{(8) x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.2.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.3.1

Multiplique $\frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ por $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - (\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)} \cdot \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.20.3.2

Combine.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (\frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.3.4

Cancele o fator comum de $(x - 7) (x + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.3.4.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.1.2.20.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $(x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{- (x - 7) (x + 1) \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.2

Cancele o fator comum de $(x - 7) (x + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.4.2.1

Fatore $(x - 7) (x + 1)$ de $- (x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.3

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - (x - 7) (x + 1) \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.5

Cancele o fator comum de $(x - 7) (x + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.4.5.1

Fatore $(x - 7) (x + 1)$ de $- (x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.5.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.5.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 1 \cdot 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.6

Multiplique $- 1$ por $72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x + 2 \cdot - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.8

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x - 14) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.9

Expanda $(2 x - 14) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.4.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x (x + 1) - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.10

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.4.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.4.10.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.4.10.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.10.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.10.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.10.1.3

Multiplique $- 14$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.10.2

Subtraia $14 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.11

Some $- 8 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 48 x - 72 - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.12

Subtraia $12 x$ de $48 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 72 - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.13

Subtraia $14$ de $- 72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.14

Fatore $2$ de $- 6 x^{2} + 36 x - 86$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.4.14.1

Fatore $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.14.2

Fatore $2$ de $36 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.14.3

Fatore $2$ de $- 86$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.14.4

Fatore $2$ de $2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.4.14.5

Fatore $2$ de $2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.5.1

Fatore $x^{2} - 6 x - 7$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.5.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 7, 1$

Etapa 1.1.2.20.5.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {((x - 7) (x + 1))}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.5.2

Aplique a regra do produto a $(x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.5.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.5.3.1

Multiplique $x - 7$ por ${(x - 7)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.5.3.1.1

Mova ${(x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.5.3.1.2

Multiplique ${(x - 7)}^{2}$ por $x - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.5.3.1.2.1

Eleve $x - 7$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.5.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2 + 1} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.5.3.1.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.20.5.3.2

Multiplique $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.5.3.2.1

Mova ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Etapa 1.1.2.20.5.3.2.2

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.20.5.3.2.2.1

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Etapa 1.1.2.20.5.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{2 + 1}}$

Etapa 1.1.2.20.5.3.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.20.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.20.7

Fatore $- 1$ de $18 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - (- 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.20.8

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 18 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.20.9

Reescreva $- 43$ como $- 1 (43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 1 \cdot 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.20.10

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2} - 18 x) - 1 (43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.20.11

Reescreva $- (3 x^{2} - 18 x + 43)$ como $- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.20.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.20.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.20.14

Multiplique $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Divida cada termo em $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.1.2.1.2

Divida $3 x^{2} - 18 x + 43$ por $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.3.3

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 18$ e $c = 43$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 43)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1.1

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4.1.3

Subtraia $516$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4.1.4

Reescreva $- 192$ como $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (192)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4.1.7

Reescreva $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1.7.1

Fatore $64$ de $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4.1.7.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4.1.9

Mova $8$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Etapa 1.2.3.4.3

Simplifique $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1.1

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.5.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.5.1.3

Subtraia $516$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.5.1.4

Reescreva $- 192$ como $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (192)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.5.1.7

Reescreva $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1.7.1

Fatore $64$ de $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.5.1.7.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.5.1.9

Mova $8$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Etapa 1.2.3.5.3

Simplifique $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1.1

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.6.1.3

Subtraia $516$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.6.1.4

Reescreva $- 192$ como $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (192)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.6.1.7

Reescreva $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1.7.1

Fatore $64$ de $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.6.1.7.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.6.1.9

Mova $8$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Etapa 1.2.3.6.3

Simplifique $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}, \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x - 7$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 7, 1$

Etapa 2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Etapa 2.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.2.3

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 2.2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, - 1$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 1, 7}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 1, 7}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} - 18 \cdot - 4 + 43)}{{((- 4) - 7)}^{3} {((- 4) + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 72 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.4

Some $48$ e $72$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (120 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.5

Some $120$ e $43$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $7$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 4$ e $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 3)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $- 11$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 {(- 3)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.4

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 \cdot - 27}$

Etapa 4.2.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Multiplique $2$ por $163$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{- 1331 \cdot - 27}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $- 1331$ por $- 27$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{35937}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, 7)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 43)}{{((0) - 7)}^{3} {((0) + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.4

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.5

Some $0$ e $43$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $7$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} \cdot 1^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $- 7$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1^{3}}$

Etapa 5.2.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $2$ por $43$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $- 343$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343}$

Etapa 5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{86}{343}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- \frac{86}{343}$ .

$- \frac{86}{343}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 1, 7)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 1, 7)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(7, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $10$ na expressão.

$f'' (10) = \frac{2 (3 {(10)}^{2} - 18 \cdot 10 + 43)}{{((10) - 7)}^{3} {((10) + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $- 18$ por $10$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 180 + 43)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Some $- 180$ e $43$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 137)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Convert $- 137$ to scientific notation.

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $10^{2}$ de $3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2}$ .

$f'' (10) = \frac{2 ((3 - 1.37) \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.5

Subtraia $1.37$ de $3$ .

$f'' (10) = \frac{2 \cdot 1.63 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $2$ por $1.63$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.7

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $7$ de $10$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $10$ e $1$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} \cdot 11^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 11^{3}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $11$ à potência de $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 1331}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $3.26$ por $100$ .

$f'' (10) = \frac{326}{27 \cdot 1331}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $27$ por $1331$ .

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Etapa 6.2.3.3

Cancele o fator comum de $326$ e $35937$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.3.1

Reescreva $326$ como $1 (326)$ .

$f'' (10) = \frac{1 (326)}{35937}$

Etapa 6.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.3.2.1

Reescreva $35937$ como $1 (35937)$ .

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Etapa 6.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Etapa 6.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(7, \infty)$ porque $f'' (10)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(7, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 1, 7)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(7, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8