Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{14} + 8 x^{2}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{14} + 8 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 14$ .

$14 x^{13} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$14 x^{13} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$14 x^{13} + 8 (2 x)$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$f' (x) = 14 x^{13} + 16 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $14 x^{13} + 16 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [14 x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [14 x^{13}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x^{13}$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x^{13}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 13$ .

$14 (13 x^{12}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $13$ por $14$ .

$182 x^{12} + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$182 x^{12} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$182 x^{12} + 16 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$f'' (x) = 182 x^{12} + 16$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $182 x^{12} + 16$ .

$182 x^{12} + 16$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $182 x^{12} + 16 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$182 x^{12} + 16 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$182 x^{12} = - 16$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $182 x^{12} = - 16$ por $182$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $182 x^{12} = - 16$ por $182$ .

$\frac{182 x^{12}}{182} = \frac{- 16}{182}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $182$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{182 x^{12}}{182} = \frac{- 16}{182}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{12}$ por $1$ .

$x^{12} = \frac{- 16}{182}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 16$ e $182$ .

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Etapa 1.2.3.3.1.1

Fatore $2$ de $- 16$ .

$x^{12} = \frac{2 (- 8)}{182}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $182$ .

$x^{12} = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 91}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{12} = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 91}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{12} = \frac{- 8}{91}$

Etapa 1.2.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{12} = - \frac{8}{91}$

Etapa 1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

Etapa 1.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

Etapa 1.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

Etapa 1.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}, - \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 182 {(0)}^{12} + 16$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 182 \cdot 0 + 16$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $182$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 16$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $16$ .

$f'' (0) = 16$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $16$ .

$16$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

O gráfico tem concavidade para cima

Etapa 5